9.7. Задания для самостоятельной работы

Вычислите криволинейные интегралы 1-го рода в примерах 1-6.

1. , где– четверть эллипса, лежащая в первом квадранте.

2. , где– окружность.

3. , где– отрезок прямой, соединяющий точкии.

4. , где– отрезок прямой, соединяющий точкии.

5. , где– дуга параболыот точкидо точки.

6. , где– первый виток винтовой линии,,.

7. Найдите длину дуги конической винтовой линии ,,от точкидо точки. Указание: точкесоответствует значение параметра, а точке– значение.

8. Найдите площадь боковой поверхности кругового цилиндра, находящегося под первым витков винтовой линии ,,и выше плоскости.

9. Найдите координаты центра тяжести однородной полуарки циклоиды ,.

Вычислите криволинейные интегралы 2-го рода в примерах 10-16.

10. , где– дуга кривойот точкидо точки.

11. , где– верхняя половина эллипса,, пробегаемая против хода часовой стрелки.

12. , где точкиисоединены кривой

13. , где– длина первой арки циклоиды,, пробегаемая в направлении возрастания параметра.

14. , где– окружность, пробегаемая против хода часовой стрелки. Указание: используйте параметрическое уравнение окружности.

15. , где– виток винтовой линии,,.

16. , где– ломаная линияс вершинами,,,.

17. Найдите массу дуги кривой, если в каждой ее точке линейная плотность пропорциональна квадрату абсциссы точки, причем,.

18. Найдите длину дуги кривой ,между ее точками пересечения с осями координат.

19. Найдите площадь, ограниченную астроидой ,.

20. Найдите работу силового поля , когда точка массыописывает окружность,, двигаясь по ходу часовой стрелки.

21. Поле образовано силой . Вычислите работу при перемещении единицы массы по контуру квадрата со сторонами , .

Найдите работу силы при перемещении вдоль линии от точкик точке.

22. , где – отрезок,,.

23., .

24. ,

.

25. , .

Найдите циркуляцию векторного поля вдоль замкнутого контура(в направлении, соответствующем возрастанию параметра).

26. , .

27. ,

.

28. , .

Вычислите двойные интегралы.

29. .31. .

30. .32.

Измените порядок интегрирования (предварительно нарисовав область интегрирования).

33. .34. .

35. .36. .

37. .38. .

39. .

40. .

Вычислить площади фигур, ограниченных кривыми в примерах 41-46.

41. ,,.42. ,.

43. ,,.44. ,,.

45. ,,.46. ,,.

47. Вычислите площадь петли кривой .

48. Вычислите площадь петли кривой . Указание: сделайте замену переменных,.

Путем перехода к полярным координатам вычислите следующие интегралы.

49. , если областьограничена окружностью,.

50. , где– кольцо между окружностями радиусовис центром в начале координат.

51. .

52. .

53. , где– полукруг диаметрас центром в точке, лежащий выше осиОх.

Найдите массу пластинки с заданной поверхностной плотностью.

54. ,.

55. ,.

56. ,.

57. Вычислите площадь той части плоскости , которая лежит в первом октанте и ограничена цилиндром.

58. Вычислите площадь той части поверхности конуса , которая высекается цилиндром.

59. Вычислите площадь поверхности параболоида , расположенного внутри цилиндра.

Вычислите интегралы по площади поверхности.

60. , где– часть плоскости, лежащая в первом октанте.

61. , где– часть сферы, лежащая в первом октанте.

62. , где– цилиндр, ограниченный плоскостямии, а– расстояние от точкиповерхностидо начала координат.

Вычислите тройные интегралы.

63. , где– область, ограниченная координатными плоскостями и плоскостью.

64. , где– область, ограниченная конусоми плоскостью.

65. , где– трехгранная призма, ограниченная плоскостями,,,,,,.

Вычислите интегралы, переходя к сферическим или цилиндрическим координатам.

66. .

67. .

68. .

69. , где– шар.

Вычислите объем тела, ограниченного поверхностями в примерах 70-72.

70. ,.

71. ,,.

72. ,. Указание: перейдите к сферическим координатам.

73. Вычислите массу тела, ограниченного поверхностями ,, если плотностьв каждой точке тела равна аппликате этой точки.

74. Вычислите массу тела, ограниченного поверхностями ,,,,, если плотностьв каждой точке тела равна ординатеэтой точки.

75. Вычислите поток векторного поля через верхнюю сторону круга, вырезаемого конусомиз плоскости,.

76. Вычислите поток векторного поля через треугольникABC с вершинами в точках ,,(нормаль образует с осьюОх острый угол).

77. Вычислите поток векторного поля через боковую поверхность кругового цилиндра, ограниченную плоскостями,,.

78. Вычислите поток векторного поля через полную поверхность конуса, ограниченную плоскостью,.

79. Методом введения криволинейных координат на поверхности вычислите поток вектора через поверхность, где– внешняя сторона цилиндрической поверхности, ограниченная сферой.

80. Методом введения криволинейных координат на поверхности вычислите поток вектора через поверхность, где– внешняя сторона части сферы, вырезанная конической поверхностью, где.

Вычислите поток векторного поля через замкнутую поверхность(нормаль внешняя). Проверьте результат с помощью формулы Гаусса-Остроградского в примерах 21-24.

81. , .

82. , .

83. , .

84. , .

Достраивая подходящим образом заданные незамкнутые кривые до замкнутых и пользуясь теоремой Гаусса-Остроградского, вычислите потоки векторных полей через указанные поверхности (к замкнутой поверхности берем внешнюю нормаль).

85. , .

86. , .

87. , .

Вычислите циркуляцию векторного поля по замкнутому контуру. Проверьте результат при помощи формулы Стокса в примерах 88-90.

88. , .

89. , ,.

90. , где – линия пересечения плоскостис координатными плоскостями,,.

91. Найдите дивергенцию векторного поля , где– постоянный вектор, а.

92. При какой функции дивергенция векторного поля будет равна ?

93. Найдите , где, а .

94. Найдите функцию , для которой выполняется равенство.

95. Какова должна быть функция , чтобы ротор векторного поля совпал с вектором ?

96. Найдите ротор .

97. Найдите ротор .

98. Найдите ротор .

Докажите, что следующие векторные поля являются потенциальными, и найдите их потенциалы.

99. .

100. .

101. .