10.4. Поток и дивергенция векторного поля

Пусть – гладкая ориентированная поверхность, ориентация которой определяется её нормалью.

Определение 4. Потоком векторного поля через поверхностьназывается поверхностный интеграл второго рода

Укажем ещё один способ вычисления поверхностного интеграла второго рода через поверхность, заданную в неявном виде уравнения . Её можно рассматривать как поверхность уровняв скалярном поле, нормалькоторого направлена по градиенту в сторону возрастания С. Так как , тогда

. (10)

Выражение (10) представляет собой поверхностный интеграл первого рода. Знак выбирается в зависимости ориентации поверхности.

П

ример 15. Найти поток векторного поля через внешнюю поверхность параболоида, отсечённого плоскостью(рис.13).

Р

Рис.37

ешение. Рассмотрим скалярное поле ,. Направление градиентаF совпадает с направлением нормали :

.

.

По формуле (10) получим

. <

Рассмотрим поток скорости жидкости через поверхность Σ:

.

Если векторы иобразуют острый угол, то величина, если – тупой, то. Поэтому потокесть, вообще говоря, не абсолютное количество жидкости, прошедшее через поверхностьнезависимо от направления, аизбыток жидкости, протекающей в сторону положительной нормали .

Величину потока поля через замкнутую поверхностьможно рассматривать как разность между количеством жидкости, поступающей в область, ограниченную, и вытекающей из неё. Если поток положителен, то жидкости вытекает больше, чем втекает, и наоборот, если отрицателен, то жидкости втекает больше, чем вытекает. Если, может означать, что в области, ограниченной, нет источников и стоков, или их количество таково, что их общая мощность равна нулю.

Величина потока вектора через замкнутую поверхностьявляется интегральной (суммарной) характеристикой поля в_V и лишь приближённо позволяет судить о наличии источников и стоков. Удобнее ввести локальную характеристику поля. Такой характеристикой является дивергенция (плотность потока в точке).

Дадим определение дивергенции для произвольного векторного поля в областиV. Пусть . Окружимзамкнутой поверхностью, которая ограничивает область. Среднее значение потока поесть поток через, делённый на объём:

Определение 5. Дивергенцией векторного поля в точкеназывается предел средней плотности потокачерез замкнутую поверхность, окружающую точку, когда поверхностьстягивается в точку, если он существует и не зависит от вида поверхности.

, (11)

или

.

Заметим, что это определение дивергенции не зависит от системы координат.

Теорема 8. Если в области определено векторное поле, непрерывное вместе с частными производными,,, то в любой точке, существуети имеет место формула

. (12)

‰ Запишем формулу Остроградского-Гаусса для области , содержащей точку, ограниченную поверхностью,. По теореме о среднем для тройного интеграла имеем, что существует точка, такая, что

.

Подставим это выражение в (12) и, учитывая непрерывность частных производных, получим

. <

Из формулы (12) следует, что формулу Остроградского-Гаусса можно записать в векторном виде. Т.к.

,

то

, (13)

т. е. поток вектора через внешнюю сторону замкнутой поверхностиравен тройному интегралу отпо области, ограниченной поверхностью. Формула Остроградского-Гаусса в векторном виде (13) не зависит от выбора системы координат, т.е. инвариантна относительно системы координат.

Дивергенцию векторного поля можно записать с помощью оператора Гамильтона:

.

Пример 6. Найти дивергенцию поля в точке.

Решение. Согласно определению дивергенции векторного поля находим

.

Пример 7. Вычислить поток вектора через замкнутую поверхность.

Решение. По определению потока и по формуле (40) будем иметь:

,

т.е. поток радиуса вектора через замкнутую поверхностьравен утроенному объёму тела, замкнутого внутри этой поверхности.