10.4. Ротор векторного поля

Понятие ротора и его вычисление. С понятием циркуляции тесно связано понятие ротора или вихря. Циркуляция характеризует вращательную способность или завихрённость поля вдоль некоторого контура, а локальной характеристикой поля является ротор.

Р

Рис.38

Рис.8

ассмотрим сначала плоское векторное полеи какой-либо контур, окружающий выбранную точку(рис. 8). Площадь, ограниченная контуром, равнаs. Тогда отношение есть средняя плотность циркуляции векторана площадкеs. Плотность циркуляции в точке характеризуется пределом, когда_{, т.е.}

(5)

Если этот предел существует, то он даёт величину завихрённости поля в точке .

Если векторное поле – пространственное, то можно говорить о завихрённости в каком-либо направлении. Проведём через точкуплоскость, перпендикулярную выбранному направлению, и рассмотрим в ней какой-либо контур, охватывающий точку(рис.8). Тогда предел (5) даёт завихрённость поля в направлении.

Определение 3. Ротором векторного поля в точкеназывается вектор, проекция которого на направлениеравна пределу отношения циркуляции векторного поля по плоскому контуру, перпендикулярному этому направлению, к величине площади, охваченной контуром, когдастягивается в точку.

. (6)

Заметим, что данное определение не зависит от выбора системы координат, т.е. оно инвариантно.

Получим формулу вычисления в декартовой системе координат.

Теорема5. Пусть в каждой точке задано непрерывно дифференцируемое поле. Тогда в точкесуществует ,вычисляемый по формуле:

. (7)

‰

Вычислим сначала проекцию вектора на осьOz. Пусть – контур, лежащий в плоскостиОху, ограничивающей область G. Воспользуемся формулой Грина (рис. 9)

.

Применим к двойному интегралу теорему о среднем:

Рис.9

,

и подставим последнее в (6):

Аналогично вычисляем проекции на орты и.<

Вектор символически записывается следующим образом:

,

где – оператор Гамильтона.

Легко доказать следующие свойства :

.

.

.

Пример 3. Найти ротор поля скорости твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной точки с мгновенной угловой скоростью .

Решение. Найдём сначала линейную скорость . Из курса физики известно, что .

.

Тогда

;

.

Таким образом, , характеризуя «вращательную компоненту» поля скоростей, равен удвоенной скорости вращения.

Пример 4. Найти .

Решение.

.

.

Следовательно, вектор параллелен вектору.

С помощью можно обобщить формулу Грина на пространственный случай. Таким обобщением является формула Стокса, которая связывает циркуляцию векторного поля с потоком ротора через поверхность, натянутую на этот контур. При этом говорят, что поверхность можно натянуть на контур, если существует кусочно-гладкая ориентированная поверхность, лежащая в области_V и имеющая своей границей.

Трехмерную область _V будем называть поверхностно-односвязанной, если на любой контур можно натянуть поверхность, целиком лежащую в _V. Примеры поверхностно неодносвязной области – шар, через который проходит цилиндрический туннель.

П

Рис.40

Рис.10

усть– ориентированная поверхность, натянутая на контуррис.10. Нормаль к поверхностивыберем таким образом, чтобы направление векторасоответствовало положительному обходу контура. Направление обхода контурабудем считать положительным, если при обходе по контуруобластьостается все время слева. Если смотреть с конца вектора, то обход контура осуществляется против часовой стрелки. В этом случае говорят, что направление обходаи ориентациясогласованы.

Теорема 6.(Стокс) Пусть _V - поверхностно-односвязаная область, - кусочно-гладкий контур в V и - кусочно-гладкая поверхность, натянутая на и лежащая в V. Пусть в области V задано векторное поле , непрерывное и дифференцируемое в во всех точках области итакже непрерывен в V. Тогда циркуляция поля по контуру равна потоку ротора через , т.е. справедлива формула Стокса

, (8)

причём направление обхода и ориентациясогласованы.

‰ Разобьём поверхность наn частей , ограниченных контурами,. Рассмотримi-й элемент поверхности. Возьмём произвольную точку и проведём через неё нормаль и касательную плоскость к . Обозначим через проекцию контура,– площадь поверхности, а через– площадь проекциина . Из определения ротора следует равенство

.

При достаточно мелком разбиении это равенство будет справедливо для контура поверхности, т.е.

.

Суммируя последнее равенство по всем , получим

. (9)

П

Рис.11

ри объединении двух соседних участков поверхностей и , в соответствии с правилом согласования направления обхода контура и нормали, их общая часть границы обходиться в противоположных направлениях (рис. 11).

.

Суммируя контурные интегралы по всем i, получаем интеграл по общему контуру, т.е. . Тогда (9) принимает вид

.

Сумма в правой части является интегральной для поверхностного интеграла . Переходя здесь к пределу при, получим формулу Стокса (8).<

Замечание. Из формулы Стокса следует, что если и– две поверхности, натянутые на контур, то потоки полячерез них равны.

Теорема 7. (необходимое и достаточное условие потенциальности векторного поля) Для того, чтобы непрерывно дифференцируемое векторное поле было потенциальным в поверхностно-односвязанной области V необходимо и достаточно, чтобы оно было безвихревым, т.е. .

‰ Необходимость. Пусть поле потенциально, тогда существует его потенциал, т.е.. Получаем

.

Достаточность. Пусть поле безвихревое поле, т.е.для любой точки. Так как областьV поверхностно-односвязная, то по теореме Стокса для произвольного контура существует интеграл, который не зависит от пути интегрирования, т.е. кривой, соединяющей точкии. Если точказафиксирована, то интеграл является функцией. Обозначим её

.

Покажем, что . Так как интеграл не зависит от формы пути интегрирования, то

, т.к. .

В качестве пути интегрирования взят отрезок, параллельный оси Ох, согласно определению производной, теоремы о среднем, а также в силу непрерывности , получаем

.

Аналогично показывается, что и, следовательно.<

Пример 5. Показать, что поле потенциально и найти его потенциал.

Решение.

.

Так как , то полепотенциально. Найдем потенциалполя.

Фиксируем точку , рассмотрим произвольную точку. Тогда.

Л

Рис.12

инию интегрирования (в силу независимости такого интеграла от форму пути) выберем в виде ломанной(рис.12), где отрезокпараллелен осиОх, отрезок – осиОу, а отрезок – осиОz. Вдоль имеем,, а следовательно,. Вдольпостояннои, откуда, а вдольобе переменныеи– постоянны, а это значит, что. Тогда

.