10.2. Работа векторного поля. Циркуляция

Дадим физическую интерпретацию криволинейного интеграла второго рода. Если в некоторой области задано непрерывное силовое поле, то при перемещении материальной точки вдоль гладкой ориентированной кривойL поле совершает некоторую работу А. Для её определения разобьём линию L на дуг точками,, …,(рис. 16). Пустьпроизвольная точка дуги. Обозначим– единичный вектор касательнойL в этой точке и – длину дуги.

Р

Рис.5

аботу на дугеможно приближённо вычислить с помощью скалярного произведения. Тогда приближённо работа есть.

За работу А на всей кривой L естественно принять предел

.

Если этот предел существует, то он является криволинейным интегралом I рода от скалярной функции , т.е. это криволинейный интегралII рода. Таким образом, работа А по перемещению материальной точки в непрерывном силовом поле выражается криволинейным интегралом II рода:

. (2)

Покажем, что работа поля вдоль любой векторной линии этого поля отлична от нуля. ПустьL – векторная линия, тогда векторпараллелен. Тогда скалярное произведение, тогда, причём кривая может быть замкнутой.

Определение 1. Работа векторного поля вдоль замкнутой кривойL называется циркуляцией этого поля:

.

Ф

Рис.6

изически её можно интерпретировать следующим образом. Пусть– поле скоростейтекущей жидкости. Поместим в это поле колёсико с лопастями, расположенными по окружностиL этого колеса (рис.6). Частицы жидкости, действуя на эти лопасти, будут создавать вращательные моменты, суммарное действие которых приводит колесо в движение – вращение вокруг своей оси. Вращательное действие поля в каждой точке будет характеризоваться проекциейна касательную, т.е. скалярным произведением. Суммирование вращательных действий жидкости по всему контуру колёсика приводит к понятию циркуляции вектора.

Ф

изический смысл циркуляции: циркуляция векторного поля определяет его вращательную способность в данном направлении и характеризует завихрённость поля в этом направлении. Чем меньше угол между касательной и вектором поля, тем большеС, а следовательно и завихрённость.

Пример 2. Вычислить циркуляцию векторного поля вдоль замкнутого контура, являющегося границей части сферы, расположенной в первом октанте:,,, причем направление обхода контура таково, что в плоскостиОху движение происходит от точки к.

Решение. Контур состоит из трех кривых, каждая из которых является дугой единичной окружности, лежащей соответственно в координатной плоскостиОху, Оуz, Oxz. Поэтому ,

.

Найдем интеграл по кривой. Так как криваялежит в плоскостиОху, то ,и, где,,. Запишем параметрическое уравнение:,,. Получаем

.

Точно так же вычисляются интегралы и. При этом. Следовательно,.

10.3. Потенциальное векторное поле

Определение 2. Векторное поле называетсяпотенциальным в области , если существует такое скалярное поле, что для всех точек этой области вектор-функцияявляется градиентом этого скалярного поля:

.

Скалярное поле называетсяпотенциалом векторного поля . Потенциальное поле является одним из наиболее простых полей, так как определяется одной скалярной функцией, в то время как произвольное векторное поле – тремя скалярными функциями.

Теорема 1. Если поле потенциально, то его потенциал определяется однозначно с точностью до произвольного постоянного слагаемого.

‰ Пусть поле имеет два потенциалаи, т.е.и. Тогдаи, следовательно,. Таким образом, получаем, что.<

Теорема 2. Если поле потенциально в областиV, то работа этого поля (криволинейный интеграл второго рода) не зависит от формы пути, соединяющий две любые точки из V. Потенциал с точностью до произвольной постоянной определяется криволинейным интегралом второго рода, взятому по произвольной кривой, соединяющей точкии, где– фиксированная точка, а– текущая точка.

‰ Работа А поля по некоторому путиL, соединяющему точки и, вычисляется по формуле (11):

.

Поле потенциально, тогда существует потенциал, причем. Тогда скалярное произведение

,

Для простоты преобразований пусть плоская кривая, заданная параметрическими уравнениями,,, причем начало в точке, которой соответствует значение параметра, а конечной точкисоответствует значение параметра, т.е.,. Тогда

=

.

Т.е потенциал определяется по формуле

(3)

Откуда следует, что работа не зависит от формы пути, а зависит от положения начальной и конечнойточек.<

Задача отыскания потенциала полятесно связано с задачей восстановления функции трёх переменных по её полному дифференциалу.

Теорема 3. Пусть векторное поле задано функцией , которая непрерывно дифференцируема в области. Для того, чтобы выражение

(4)

было полным дифференциалом некоторой функции , необходимо и достаточно, чтобы полебыло потенциальным.

‰ Необходимость. Пусть (4) есть полный дифференциал , то с одной стороны по определению, а с другой стороны, откуда. Т.е., а, следовательно,– потенциальное поле.

Достаточность. Пусть – потенциально, тогда существует функция, такая, что. По определению градиента,,, тогда получаем.<

Для того, чтобы найти функцию по её полному дифференциалу необходимо применить формулу (3), т.е. с точностью до произвольного постоянного слагаемого вычислить криволинейный интеграл по любой кривой, соединяющей две точкии т.е.

.

Теперь естественно возникает вопрос: когда, при каких условиях векторное поле является потенциальным?

Теорема 4. Для того чтобы работа векторного поля не зависела от формы пути, соединяющего две точки в области, необходимо и достаточно, чтобы циркуляция по любому замкнутому контуру, лежащему в этой области, была равна нулю.

 Необходимость. Пусть работа не зависит от пути. Возьмём контур (рис. 10.18).

Рис.7

,

Рис.18

.

Достаточность. Пусть , тогда . Получаем

,

т.е. работа не зависит от пути. 