
- •Оглавление
- •Предисловие
- •Задачи математической статистики
- •Генеральная и выборочная совокупности
- •Статистическое распределение выборки
- •Графическое изображение статистического распределения выборки
- •Эмпирическая функция распределения
- •Числовые характеристики статистического распределения выборки
- •Точечные оценки параметров распределения
- •Свойства статистических оценок
- •Доверительные интервалы
- •Доверительный интервал для математического ожидания нормально распределенной генеральной совокупности при известном среднем квадратическом отклонении
- •Доверительный интервал для математического ожидания нормально распределенной генеральной совокупности при неизвестном среднем квадратическом отклонении
- •Понятие о проверке статистических гипотез о законе распределения генеральной совокупности
- •Корреляционная зависимость. Выборочный коэффициент корреляции. Линейная корреляция. Выборочное линейное уравнение регрессии
- •Сборник задач по курсу «Теория вероятностей и математическая статистика»
- •Примерный список вопросов для подготовки к зачету
- •Список литературы (обязательной и дополнительной) Основная литература
- •Дополнительная литература
- •Справочные издания
- •Интернет-ресурсы
- •Электронные издания
- •Словарь терминов
Доверительный интервал для математического ожидания нормально распределенной генеральной совокупности при неизвестном среднем квадратическом отклонении
Пусть теперь с.в. Х распределена нормально с параметрами М(Х)=а и σ(Х)= σ, причем оба этих параметра неизвестны. Требуется построить доверительный интервал для математического ожидания, покрывающий параметр а с заданной надежностью γ . Пусть сделана выборка { x1, x2, … , xn } с.в. Х объема n и по ней вычислено выборочное среднее и исправленное среднее квадратическое отклонение
Полученную выборку
{
x1,
x2,
… , xn
} снова
рассматриваем как
реализацию системы независимых случайных
величин X1,
X2,
… , Xn
, каждая из которых тоже имеет нормальное
распределение с теми же параметрами а
и σ
. При этом вычисленное выше выборочное
среднее
есть
реализация случайной величины
,
а выборочное
исправленное среднее квадратическое
отклонение s
есть реализация случайной величины Sn,
которая соответствующим образом
выражается через случайные величины
X1,
X2,
… , Xn
и введенную выше случайную величину
:
.
Тогда оказывается,
что случайная величина Тn
,
выражающаяся через введенные случайные
величины
иSn
по формуле
имеет известное распределение, не зависящее от параметров а и σ. Это распределение называется распределением Стьюдента, его плотность вероятности задается формулой
,
где коэффициент Вn определенным образом зависит от объема выборки n (конкретная формула не важна).
По заданной
надежности γ найдем такое вспомогательное
число tγ,
которое гарантировало бы выполнение
условия P(|Tn|<
tγ)
= γ . Посмотрим,
к какому уравнению для tγ
приведет это условие. По общей формуле,
выражающей вероятность попадания н.с.в.
в заданный интервал , получаем:
.
Поэтому для
получилось
уравнение:
.
Конечно, это уравнение не решается
аналитически, а только численно . Для
различных значенийn
и γ
получены решения tγ
этого уравнения и результаты сведены
в таблицу значений tγ=t(γ,n).
Тогда для этого значения tγ
выполнено
следующее:
,
т.е.
.
Полученное равенство и означает, что доверительный интервал
покрывает неизвестный
параметр а
с доверительной вероятностью γ
, где
− найденное выборочное среднее,s
– исправленное среднее квадратическое
отклонение, а значение параметра
tγ=t(γ,n)
для различных значений n
и γ
приведено в специальных таблицах,
связанных с распределением Стьюдента.
Пример.
Некоторый признак Х
генеральной совокупности распределен
нормально. Для
определения среднего значения признака
Х
была сделана выборка объема n=20,
по которой вычислено выборочное среднее
и выборочное исправленное среднее
квадратическое отклонениеs
= 0.4 . Найти
, используя распределение Стьюдента,
доверительный интервал для математического
ожидания а
признака Х
с надежностью γ=0.99
.
Решение. Для
надежности γ=0.99
и объема выборки n=20
по таблице значений tγ=t(γ,n)
находим tγ=2.861.
Тогда по
выписанной выше формуле с вероятностью
γ=0.99
среднее значение а
признака Х
заключено в интервале
.
Пример.
Некоторый признак Х
генеральной совокупности распределен
нормально. Для
определения среднего значения признака
Х
была сделана выборка объема n=16,
по которой вычислено выборочное среднее
и выборочное исправленное среднее
квадратическое отклонениеs
= 0.8 . Найти
доверительный интервал для математического
ожидания а
признака Х
с надежностью γ=0.95
( Ответ: 19.774
< a
< 20.626 ).