Статистическое распределение выборки

Для большей прозрачности вводимых ниже общих понятий начнем с примера. В большом городе проводится исследование детей определенного возраста по проблемам стоматологии. Изучается с.в. Х – количество больных зубов у наугад выбранного ребенка требуемого возраста. Если мы сумеем найти такие числовые характеристики этой с.в. как математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение, то узнаем среднее число больных зубов у детей данного возраста, а также поймем, имеют ли подавляющая часть детей число больных зубов, близкое к среднему, или разброс в количестве больных зубов достаточно велик. Понятно, что такие данные помогут осознать наличие проблемы и ее остроту.

Итак, для изучаемой с.в. Х (количество больных зубов у наугад выбранного ребенка требуемого возраста) генеральной совокупностью являются все дети города данного возраста (это в данном случае и есть та «однородная совокупность объектов»). Понятно, что провести сплошное исследование (исследовать всех детей города) слишком сложно (да и не нужно), то сделана выборка объема n=100, т.е. отобрано 100 детей для обследования. У каждого из них пересчитали больные зубы, после чего с.в. Х на каждом из детей приняла некоторое значение (число больных зубов у ребенка). Допустим, что 7 детей не имеют больных зубов. Это значит, что с.в. Х значение х₁=0 приняла n₁=7 раз. Далее, пусть с.в. Х значение х₂=1 приняла n₂=5 раз, … , значение х₃₃=32 приняла n₃₃=0 раз (не оказалось детей, у которых больны все зубы). Таким образом, в результате проведения таких экспериментов мы получили два набора чисел: {x₁, x₂, … , x₃₃}={0, 1, … , 32} – значения, которые принимала с.в. Х на выборке, {n₁, n₂, … , n₃₃}={7, 5, … , 0} – количество объектов из выборки, на которых с.в. приняла то или иное значение (причем, очевидно, что должно выполняться: 7+ 5+ … + 0 =100, т.е. n₁ + n₂ + …+ n₃₃ = n (объему выборки). Все эти наборы чисел имеют в математической статистике свое название. Перейдем к общему случаю.

Пусть некоторый признак генеральной совокупности описывается с.в. Х. Из генеральной совокупности сделана выборка объема n, на которой с.в. Х приняла следующие значения: х₁ (n₁ раз), х₂ (n₂ раз), …. , х_k (n_k раз), так что

n₁ + n₂ + …+ n₃₃=n .

Числа x₁, x₂, … , x_k называются вариантами. Обычно варианты выписываются в возрастающем порядке. Запись вариант в возрастающем порядке называется ранжированием. Последовательность вариант, записанная в возрастающем порядке, называется вариационным рядом. Числа n₁ , n₂ , …. , n_k называются частотами, а их отношения к объему выборки n называются относительными частотами : . Из условияn₁ + n₂ + …+ n₃₃=n легко получить, что относительные частоты удовлетворяют соотношению:

w₁ + w₂ + … + w_k = 1 .

xi	x1	x2	…	xk
wi	w1	w2	…	wk

Варианты и соответствующие частоты (или относительные частоты) обычно записываются в таблицу (аналогичную табличной записи закона распределения дискретных случайных величин), которая называется статистическим распределением выборки (или дискретным статистическим рядом). Общий вид статистического ряда:

xi	x1	x2	…	xk
ni	n1	n2	…	nk

или

Пример. При тестировании группа студентов получила следующие оценки: 2, 5, 3, 2, 4, 2, 5, 2, 3, 2. Найти статистическое распределение выборки.

Решение. Посчитав число вариант, получим, что объем выборки n=10. Пересчитав количество каждых оценок, получим статистическое распределения частот и относительных частот:

xi	2	3	4	5
ni	5	2	1	2

xi	2	3	4	5
wi	0.5	0.2	0.1	0.2

Если исследуемая с.в. Х является непрерывной, возможные значения которой заполняют числовой отрезок [a,b] (либо число вариант слишком велико), то строится не дискретный, а так называемый интервальный статистический ряд . Для этого отрезок [a,b] разбивается точками а₀(=а), а₁, а₂, … , а_k(=b) на некоторое число k равных интервалов длины h=(b−a)/k: [a₀ , a₁), [a₁ , a₂), … , [a_k-2 , a_k−1), [a_k−1 , а_k] . Затем считают частоты − число вариант, попавших в каждый из интервалов: n₁ , n₂ , …. , n_k , либо относительные частоты . Интервальный статистический ряд частот или относительных частот записывают в виде таблицы:

xi	[a0,a1)	[a1,a2)	…	[ak−1,ak]
wi	w1	w2	…	wk

xi	[a0,a1)	[a1,a2)	…	[ak−1,ak]
ni	n1	n2	…	nk

или

Если исследуется дискретная с.в., то для построения интервального ряда в качестве числа а берут минимальную варианту, а в качестве числа b – максимальную: а=х₁, b=x_k (если исходные варианты были ранжированы). Рекомендуемое число k разбиений интервала можно вычислить, например, по формуле Стерджерса:

.