Математическое ожидание случайных величин

Определение математического ожидания с.в. зависит от того, является ли она дискретной или непрерывной.

1. Пусть Х – дискретная случайная величина с законом распределения:

Х	х1	х2	…	xn
Р	p1	p2	…	pn

Математическим ожиданием д.с.в. Х называется число, обозначаемое М(Х) и вычисляемое по формуле

2. Пусть Х – непрерывная случайная величина с плотностью вероятности f(x). Математическим ожиданием н.с.в. Х называется число, обозначаемое также М(Х) и вычисляемое по формуле

Понятно, что если н.с.в. Х сосредоточена на некотором отрезке [a,b] (т.е. по принятому выше определению плотность ее вероятности f(x) обращается в 0 вне этого отрезка), то формула для математического ожидания переходит в следующую:

.

Убедимся (для случая дискретных случайных величин), что таким образом введенному математическому ожиданию случайной величины можно действительно придать смысл среднего значения этой величины. Напомним, что арифметическим средним n чисел х₁, х₂, … , x_n называется число, равное . Пусть не все числах₁, х₂, … , x_n разные, а разных среди них только k штук, причем имеется n₁ чисел, равных х₁, n₂ чисел, равных х₂, … , n_k чисел, равных x_k (понятно, что n₁+…+n_k = n, а если все числа разные, то это просто означает, что k=n, n₁=n₂=…=n_k=1). Тогда сумма всех чисел может быть представлена в виде . Поэтому формула для среднего всех данных чисел может быть представлена в виде

.

Далее будет использована именно эта формула среднего для набора из n чисел, среди которых имеется n₁ чисел, равных х₁, n₂ чисел, равных х₂, … , n_k чисел, равных x_k (n₁+…+n_k = n).

Итак, пусть имеется д.с.в. Х , возможные значения которой х₁, х₂, … , x_k и принимаются они с вероятностями p₁, p₂, … , p_k. Таким образом, д.с.в. Х имеет следующий закон распределения вероятностей:

Х	х1	х2	…	xk
Р	p1	p2	…	pk

Проведем n случайных экспериментов, в каждом из которых д.с.в. Х приняла одно из своих возможных значений. Пусть свое первое значение х₁ было принято n₁ раз, значение х₂ было принято n₂ раз, …, значение х_k принято n_k раз (n₁+n₂+…+n_k = n). Составим теперь среднее значение с.в. Х в этих n экспериментах, обозначив его . По приведенной выше формуле для среднего получаем:

.

Понятно, что это число может меняться при переходе от одной серии изn экспериментов к другой, а также зависит и от числа n проведенных экспериментов. Поэтому полученное число не может быть принято в качестве среднего значения с.в.Х как таковой. Посмотрим, как будет меняться это среднее при неограниченном увеличении числа проводимых экспериментов, т.е. попробуем вычислить предельное значение приn→∞:

.

Найдем значение первого в этой сумме предела . Под знаком предела стоит отношение числа экспериментовn₁, в которых с.в. Х приняла значение х₁ (т.е. произошло событие Х=х₁), к общему числу проведенных экспериментов n . Когда мы проходили ранее статистическое определение вероятности, то для произвольного события А отношение числа экспериментов, в которых это событие появилось, к общему числу экспериментов n мы называли относительной частотой события А в n испытаниях и обозначали W_n(A). Поэтому отношение есть ни что иное, как относительная частота события (Х=х₁) в проведенных n экспериментах : . В той же теме о статистическом определении вероятности мы говорили о том, что, благодаря свойству устойчивости относительных частот, при неограниченном увеличении числа испытаний относительная частота любого событияА стремится к его вероятности: . Поэтому исследуемый предел

равен вероятности для исследуемой с.в. Х принять свое первое значение х₁. Но такая вероятность по выписанному выше закону распределения для с.в. Х равна р₁. Поэтому можно окончательно записать, что . Аналогичные формулы можно получить и для остальных пределов. В результате получаем, что

.

Поэтому для предела среднего значения с.в. Х при неограниченном увеличении числа испытаний получается формула

.

Но в правой части мы получили то, что выше было названо математическим ожиданием М(Х) для с.в. Х . Таким образом

,

а потому математическое ожидание мы действительно можем считать средним значением случайной величины при большом (так как n→∞) числе испытаний. По этой причине математическое ожидание некоторой случайной величины называют еще и средним значением этой величины. Полученная формула говорит о том, чтопри большом числе экспериментов n среднее значение с.в. Х в этих испытаниях приближенно равно математическому ожиданию этой с.в. : . С другой стороны, записав это приближенное равенство в виде, получим способ оценки математического ожидания с.в.Х, если неизвестен закон ее распределения. Этот способ оценки математического ожидания и используется в математической статистике.

Рассмотрим некоторые примеры на нахождение математического ожидания. Если в задаче требуется найти среднее некоторой величины, то (по изложенным выше причинам) это означает, что требуется найти ее математическое ожидание.

Пример. Найти среднее число очков, выпадающих на игровом кубике. Решение. Пусть с.в. Х – число очков на кубике при его подбрасывании. Требуется найти математическое ожидание М(Х) этой случайной величины. Мы уже выписывали закон распределения для числа выпавших на кубике очков:

Х	1	2	3	4	5	6
Р	1/6	1/6	1/6	1/6	1/6	1/6

Тогда по определению . Отметим, что среднее значение случайной величины не обязано совпадать с одним из своих возможных значений, что показывает данный пример.

Пример. Найти среднее число продаваемых за день автомобилей в задаче об автосалоне (данные по этой задаче были даны выше). Решение. В этой задаче уже был дан закон распределения с.в. Х – число продаваемых за день автомобилей:

Х	0	1	2	3
Р	0.4	0.3	0.2	0.1

Поэтому среднее число продаваемых за день автомобилей М(Х)=0∙0.4+1∙0.3+2∙0.2+3∙0.1=1 . Поэтому в среднем продается одна машина в день. Отметим, что в данном примере математическое ожидание случайной величины совпало с одним из ее возможных значений.

Пример. У охотника имеется 4 патрона. Он стреляет по зайцу, пока не попадет или пока не закончатся патроны. Найти среднее число израсходованных патронов.

Пример (доходы страхования). По статистике 40-летний человек доживает до 50-летнего возраста с вероятностью 0.927 . При страховании жизни на 10 лет на сумму 1000 у.е. такой человек платит 100 у.е. страхового взноса. Найти средний доход страховой компании за 10 лет от одного клиента.

Пример. Найти математическое ожидание непрерывной с.в. Х, если плотность ее вероятности

Решение. Поскольку эта случайная величина сосредоточена на отрезке [0,1] (т.к. вне этого отрезка плотность вероятности обращается в 0), то

.

Рассмотрим свойства математического ожидания, которые справедливы как для дискретных, так и для непрерывных случайных величин.

1. Если с.в С принимает только одно значение с=const (при любом исходе эксперимента), то она уже не является случайной. В этом случае она называется постоянной величиной. Но такую величину тоже можно рассматривать как д.с.в. с законом распределения

C	с
Р	1

Тогда, очевидно, что ее математическое ожидание равно единственному принимаемому этой величиной числу: М(С)= с ∙1 = с. Итак,

М(С)=с.

2. Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания:

М(с∙Х)=с∙М(Х),

где c=const.

3. Математическое ожидание суммы случайных величин равно сумме их математических ожиданий:

M(X+Y)=M(X)+M(Y).

Это свойство справедливо для суммы любого числа случайных величин и помогает находить математическое ожидание некоторых с.в., закон распределения которых неизвестен либо его нахождение вызывает значительные трудности.

Пример (о том же автосалоне). Найти среднюю ежедневную прибыль автосалона.

Решение. Пусть снова с.в. Х – число проданных за день автомобилей, а с.в. Y – ежедневная прибыль автосалона. Ранее было получено, что Y=100 ∙X − 50, а М(Х)=1. Поэтому, используя приведенные выше свойства, получаем среднее значение ежедневной прибыли М(Y)=M(100 ∙X − 50)=100 ∙M(X) −50 =50 у.е. .

Пример. Найти среднее значение суммы числа очков при подбрасывании двух кубиков.

Решение. Пусть с.в. Х – сумма очков на двух кубиках. Требуется найти М(Х). Введем вспомогательные с.в. : Х₁ – число очков на 1-м кубике, а Х₂ – на втором. Очевидно, что Х=Х₁+Х₂. Уже не так просто составить закон распределения с.в. Х (для того, чтобы вычислить ее матожидание по определению). А если бы подбрасывалось 100 кубиков, то составить закон распределения было бы необычайно сложно. Однако используя рассматриваемое свойство и учитывая, что ранее вычисленное матожидание числа очков на одном кубике равно 3.5, получаем М(Х)=M(X₁+Х₂)=M(X₁)+M(Х₂)=3.5+3.5=7. Понятно, что средняя сумма числа очков для 100 кубиков равна 350.

4. Математическое ожидание произведения независимых случайных величин Х и Y равно произведению их математических ожиданий:∙

M(X∙Y)=M(X)∙M(Y) .

Еще раз отметим, что если свойство матожидания суммы случайных величин справедливо для всех с.в., то для гарантированной справедливости этой формулы с.в. Х и Y должны быть независимыми.

Пример. Найти среднее значение произведения числа очков при подбрасывании двух кубиков.

Решение. Пусть с.в. Х – произведение очков на двух кубиках. Требуется найти М(Х). Снова введем те же вспомогательные с.в. : Х₁ – число очков на 1-м кубике, а Х₂ – на втором. Очевидно, что Х=Х₁ ∙Х₂, а с.в. Х₁ и Х₂ независимы. Тоже не так просто составить закон распределения с.в. Х (для того, чтобы вычислить ее матожидание по определению). Однако используя рассматриваемое свойство и учитывая, что ранее вычисленное матожидание числа очков на одном кубике равно 3.5, получаем М(Х)=M(X₁ ∙Х₂)=M(X₁)∙M(Х₂)=3.5²=12.25 .

Пример. Пусть Х и Y – независимые с.в. . Найти математическое ожидание с.в. Z=2X–5Y+4X∙Y+3, если М(Х)=1, M(Y)=3.

5. Укажем формулы для вычисления математического ожидания функции от случайной величины.

Х	х1	х2	…	xn
Р	p1	p2	…	pn

1) Пусть Х – дискретная случайная величина с законом распределения

а с.в. Y=g(X). Тогда

.

Доказательство этой формулы очевидно, если вспомнить, как выглядит закон распределения с.в. Y=g(X) и определение математического ожидания.

2) Пусть Х – непрерывная случайная величина с плотностью вероятности f(x), а с.в. Y=g(X). Тогда

.

6. Рассмотрим теперь нахождение математического ожидания в часто встречающихся ситуациях. Пусть производится n независимых испытаний, в каждом из которых некоторое событие А может появиться с вероятностью, зависящей в общем случае от номера испытания. Пусть р₁ – вероятность появления событий А в 1-oм испытании, …, р_n – вероятность появления событий А в n-oм испытании. Рассмотрим с.в. Х – число появлений события А во всех n испытаниях (как говорят – «число успехов» в n испытаниях). Тогда математическое ожидание числа успехов:

.

Доказательство. Рассмотрим вспомогательные случайные величины: Х₁ – число появлений события А в 1-ом испытании, …, Х_n – число появлений события А в n-ом испытании . Все введенные с.в. могут принимать значения 0 или 1 (событие А в испытании может появиться или нет), причем значение 1 по условию принимается в k-ом испытании с вероятностью p_k (вероятность появления события А в k-ом испытании), а значение 0 с вероятностью (1– p_k) (вероятность противоположного события – не появления события А в k-ом испытании), k=1,…, n. Поэтому эти величины имеют следующие законы распределения:

Х1	0	1
Р	1–р1	р1

Хn	0	1
Р	1–рn	рn

, … ,

Поэтому средние значения этих величин: М(Х₁)=0∙(1–р₁)+1∙ р₁= р₁ , …, М(Х_n)=0∙(1–р_n)+1∙ р_n= р_n . Ясно, что общее число появлений события А во всех испытаниях равно сумме «успехов» по всем испытаниям: Х=Х₁+Х₂+…+X_n . Пользуясь свойством математического ожидания суммы случайных величин, получаем: М(Х)=М(Х₁)+М(Х₂)+…+М(X_n)=р₁+…+р_n , что и требовалось доказать.

Пример. Первый стрелок попадает в мишень с вероятностью р₁=0.5, второй с вероятностью р₂=0.6, а третий с вероятностью р₃=0.7 . Найти среднее число попаданий в мишень при одном залпе этих стрелков по мишени.

Решение. Этот пример в точности укладывается в изложенную схему. Событие А в данном случае – попадание в мишень. В каждом из трех испытаний (выстрелы стрелков) оно появляется со своей вероятностью (р₁=0.5 либо р₂=0.6, либо р₃=0.7) . С.в. Х – общее число попаданий в мишень есть общее число появлений события А. Поэтому М(Х)= р₁+р₂+р₃=1.8 . Итак, среднее число попаданий в мишень в данной ситуации равно 1.8 (ясно, что оно не является одним из возможных значений общего числа попаданий в мишень).

7. Математическое ожидание числа успехов в схеме Бернулли. Пусть производится n независимых испытаний, в каждом из которых некоторое событие А может появиться с одной и той же вероятностью р. Рассмотрим с.в. Х – число появлений события А во всех n испытаниях. Тогда математическое ожидание числа успехов:

.

Эта формула следует из предыдущего свойства, так как в рассматриваемом случае вероятности успеха в каждом испытании одинакова: р₁=р₂=…=р_n=р .

Пример. Стрелок попадает в мишень с вероятностью р=0.6 . Найти среднее число попаданий в мишень при трех выстрелах.

Ответ: 3∙0.6=1.8 .

С помощью последнего свойства теперь можно строго обосновать наше интуитивное понимание вероятности наступления некоторого события в эксперименте. Например, если получалось, что вероятность некоторого события А оказывалась равной, к примеру, р = 0.1 , то говорилось, что это событие происходит в среднем один раз в 10 испытаниях. И действительно, если мы произведем 10 испытаний на появление этого события, то по выведенной формуле для среднего числа успехов в схеме Бернулли получили бы, что среднее число появлений события А в этих испытаниях действительно равно 10 ∙0.1=1.

Если в формуле для схемы Бернулли взять n=1, то получим М(Х)=р. Поэтому вероятность р некоторого события можно интерпретировать как среднее число появлений этого события в одном испытании.

Пример. Вася с Петей снова затеяли ту же игру. Если при подбросе кубика выпадет 6, то Вася дает Пете 4 рубля, а в противном случае Петя дает Васе 1 рубль. Найти среднее значение Васиного выигрыша.

Пример. Играющий платит некоторую сумму (начальная ставка) за проведение игры ее устроителю. Четыре раза бросается монета. Если выпадает 4 орла, то играющий получает 10 рублей, если 3 орла, то 1 рубль. В остальных случаях − ничего. Какова должна быть начальная ставка в игре, чтобы игра была «безобидной» (т.е. средний общий выигрыш с учетом начальной ставки равен 0).

Пример. На двух столах лежат по 2 внешне одинаковых коробки конфет. На первом столе в одной из коробок 1 конфета, а в другой 7 конфет. На втором столе в одной из коробок 2 конфеты, а в другой 5 конфет. Ребенок выбирает стол, с которым он будет играть. Игра заключается в выборе одной из двух лежащих на столе коробок. Если ребенок выбрал первый стол, то он сможет с ним сыграть 10 раз, а если второй, то 11 раз. Какой стол ему лучше выбрать?