Числовые характеристики случайных величин

Закон распределения (для дискретных с.в.) или плотность вероятности (для непрерывных с.в) полностью характеризуют эту случайную величину. Однако часто бывает, что закон распределения неизвестен (либо получить его достаточно сложно), но, тем не менее, хотелось бы узнать наиболее важные характеристики исследуемой случайной величины. Либо закон распределения может быть известен, но представлять собой очень длинную таблицу чисел (возможные значения и их вероятности), глядя на которую очень трудно оценить какие-то глобальные характеристики этой величины, чтобы принять некоторое решение, связанное с этой случайной величиной. Какие же глобальные (или обобщенные) числовые характеристики наиболее актуальны? Допустим, мы изучаем деятельность некоторого предприятия для решения вопроса – стоит ли вкладывать деньги в акции этого предприятия, которые позволяют получать некий процент от его прибыли? Допустим, что нам даже представили (хотя это достаточно проблематично) точный закон распределения д.с.в. Х – прибыли предприятия за месяц. Глядя на длинную таблицу, нам трудно ответить на тот вопрос, который мы себе поставили. Хотелось бы иметь не море каких-то чисел, а одно-два числа, из которых стало бы понятно, стоит ли вкладывать деньги в данное предприятие. Какие же числа могут оказаться нам полезными? Прежде всего, нам хотелось бы знать, какова средняя прибыль на данном предприятии. Если мы узнаем это число, то, взяв от него оговоренный процент, узнаем и нашу среднюю прибыль от купленных акций. Допустим, что такое число (среднюю месячную прибыль предприятия) мы получили, и оно нас устроило. Какое еще число, нас может тогда заинтересовать? Хочется знать, насколько стабильна, устойчива эта средняя прибыль. Поэтому интересно также число, которое характеризует среднюю величину ежемесячного отклонения от этой средней прибыли. Если это отклонение невелико, то это говорит о стабильности работы предприятия, и мы можем строить планы на то или иное использование денег, полученных от купленных акций, не опасаясь, что в этих расчетах в реальности могут быть большие отклонения. Если же среднее отклонение велико, то это говорит о нестабильности работы предприятия, когда возможен длительный провал (и мы будем терпеть убытки вместо прибыли), а потом (при везении) получим большой всплеск прибыли. Ясно, что в этом случае что-либо планировать (особенно в краткосрочной перспективе) невозможно.

Другой пример. Допустим, мы решаем вопрос, принять ли участие в некоторой азартной игре, когда случайной величиной оказывается ваш денежный выигрыш (у нас уже была подобная задача, когда Вася и Петя подбрасывали кубик, показания которого влияло на их выигрыш). Тогда хотелось бы заранее оценить, на какой средний выигрыш можно рассчитывать. И насколько возможны значительные отклонения от него.

Таким образом, при изучении случайной величины наиболее важными являются такие ее характеристики, которые позволяют узнать вокруг какого числа группируются значения случайной величины и насколько сильно они могут от него отличаться. На эти вопросы помогут ответить вводимые далее понятия математического ожидания и дисперсии случайной величины, которые часто могут быть вычислены и без знания закона распределения случайной величины.