Понятие о системе случайных величин. Сумма и произведение случайных величин

Очень часто с одним и тем же случайным экспериментом связана не одна, а несколько случайных величин. В этом случае говорят о системе случайных величин, связанных с данным экспериментом. Приведем примеры.

1. Подбрасываются два (белый и черный) игровых кубика. С этим экспериментом можно связать, например, такие случайные величины: Х – число выпавших очков на белом кубике, а Y – на черном. Понятно, что обе с.в. имеют одинаковые законы распределения:

Х	1	2	3	4	5	6
Р	1/6	1/6	1/6	1/6	1/6	1/6

Y	1	2	3	4	5	6
Р	1/6	1/6	1/6	1/6	1/6	1/6

2. Для магазина, торгующего, в частности, холодильниками и телевизорами, можно ввести такие две с.в.: Х – дневная прибыль от продажи телевизоров, Y – дневная выручка от продажи телевизоров. Понятно, что для каждого товара из ассортимента можно ввести соответствующую с.в., тогда с данным экспериментом (длящимся от открытия магазина до его закрытия) связано очень много случайных величин (их число равно количеству наименований товаров в ассортименте данного магазина).

3. Допустим, что в плоскости мишени введена система координат, начало которой совпадает с центром мишени. Если в качестве эксперимента рассматривать выстрел по мишени, то можно рассмотреть две случайных величины Х и Y – координаты точки попадания в пули в мишень. Эту пару с.в. можно рассматривать и как случайный вектор с координатами {X,Y}.

4. Пусть в студенческой группе n студентов. Тогда можно рассмотреть систему из n случайных величин {X₁, X₂, …, X_n}, где Х_k – экзаменационная оценка по математике студента, у которого порядковый номер в ведомости равен k (k=1, 2, …, n). Понятно, что все эти с.в. имеют одни и те же возможные значения {2, 3, 4, 5}, однако вероятности их принятия разные у разных с.в. разные (в зависимости от способностей и трудолюбия студента).

Система из n случайных величин {X₁, X₂, …, X_n}, связанных с одним и тем же случайным экспериментом, называется также n-мерной случайной величиной (или n-мерным случайным вектором), а сами случайные величины X₁, X₂, …, X_n называются при этом компонентами или составляющими n-мерной случайной величины {X₁, X₂, …, X_n} (или координатами n-мерного случайного вектора).

Дадим определение независимости для дискретных случайных величин. Пусть с некоторым случайным экспериментом связаны две дискретные случайные величины Х и Y ( в этом случае говорят о дискретной двумерной случайной величине {X,Y} ), имеющие законы распределения

Х	х1	х2	.......	хn
Р	p1	p2	.......	pn

Y	y1	y2	.......	ym
Р	q1	q2	.......	qm

Таким образом, р_i=P(X=x_i), q_j=P(Y=y_j) (i=1,…,n; j=1,…,m). Рассмотрим событие, заключающееся в том, что в результате эксперимента с.в. Х приняла значение x_i, а с.в. Y приняла значение у_j , обозначим это событие (X=x_i , Y=y_j). Обозначим p_ij вероятность этого события: p_ij=Р(X=x_i , Y=y_j). Очевидно, что это событие можно представить как произведение событий (X=x_i) и (Y=y_j), так как оба события должны произойти одновременно. Таким образом, p_ij=P((X=x_i)∙(Y=y_j)). Пользуясь формулой для вероятности произведения событий, можно записать p_ij через условные вероятности: p_ij=P((X=x_i)∙(Y=y_j))=P(X=x_i)∙Р((Y=y_j)/(X=x_i)). Полной характеристикой системы д.с.в. Х и Y является (как и прежде) закон распределения этой системы, в котором указываются возможные значения, которые эта пара величин может принять в результате эксперимента, и соответствующие вероятности. Как и прежде, закон распределения оформляется в виде таблицы, но с двойным входом:

Х \ Y	y1	y2	y3	…	ym
x1	p11	p12	p13	…	p1m
x2	p21	p22	p23	…	p2m
…	…	…	…	…	…
xn	pn1	pn2	pn3	…	pnm

Сумма всех вероятностей (как и прежде) равна 1: . Это следует из того, что система всех событий вида (X=x_i ,Y=y_j) образует полную группу несовместных событий (т.е. в результате эксперимента обязательно появляется хотя бы одно из этих событий, причем в точности одно).

Зная закон распределения дискретной двумерной случайной величины, можно восстановить закон распределения каждой из них, т.е. заполнить таблицы

Х	х1	х2	.......	хn
Р	p1	p2	.......	pn

Y	y1	y2	.......	ym
Р	q1	q2	.......	qm

Значения случайных величин Х и Y сразу видны из закона распределения двумерной случайной величины. Найдем соответствующие вероятности. Очевидно, что, например, событие (X=x₁) можно представить в виде суммы попарно несовместных событий:

(X=x₁)= (X=x₁ , Y=y₁) + (X=x₁ , Y=y₂) + … + (X=x₁ , Y=y_m) ,

поскольку если в результате эксперимента с.в. Х приняла свое первое значение x₁ , то с.в. Y тоже обязательно приняла при этом одно (и только одно) из своих возможных значений. Тогда по формуле для вероятности суммы несовместных событий, получаем:

р₁= Р(X=x₁)=Р(X=x₁ ,Y=y₁)+Р(X=x₁ ,Y=y₂)+…+Р(X=x₁ ,Y=y_m)=р₁₁+р₁₂+… р_1m. .

Аналогично вычисляются и другие вероятности. Итак, имеют место формулы

,

позволяющие по закону распределения дискретной двумерной случайной величине {X,Y} ) получить законы распределения ее компонент X и Y .

Примем следующее определение. Дискретные случайные величины Х и Y называются независимыми случайными величинами, если они принимают свои значения независимо друг от друга. Строгое определение независимости д.с.в. Х и Y предполагает, что независимыми являются любые два события вида (X=x_i) и (Y=y_j). О независимости случайных величин можно говорить, если объекты, влияющие на значения этих величин, никак не связаны друг с другом в процессе случайного эксперимента. Таковыми, например, являются с.в. в первом примере (показания белого и черного кубика), а также любая пара с.в. последнего примера (успеваемость студентов в группе). В общем случае системы случайных величин (дискретных, непрерывных, смешанная система) имеет место следующее определение независимости: случайные величины Х и Y называются независимыми, если распределение (имеется в виду , например, функция распределения) одной из них не меняется в зависимости от того, что другая случайная величина приняла какое-то из своих возможных значений.

Если д.с.в. Х и Y независимы, то по свойству вероятности произведения независимых событий p_ij = P((X=x_i)∙(Y=y_j)) = P((X=x_i)) ∙ P((Y=y_j)) = p_i∙q_j. Таким образом, для независимых д.с.в. выполнено p_ij = p_i ∙ q_j. Поэтому в первом примере (подбрасываются белый и черный кубик) закон распределения системы ранее введенных случайных величин Х и Y имеет следующий вид:

Х \ Y	1	2	3	4	5	6
1	1/36	1/36	1/36	1/36	1/36	1/36
2	1/36	1/36	1/36	1/36	1/36	1/36
3	1/36	1/36	1/36	1/36	1/36	1/36
4	1/36	1/36	1/36	1/36	1/36	1/36
5	1/36	1/36	1/36	1/36	1/36	1/36
6	1/36	1/36	1/36	1/36	1/36	1/36

Определим теперь сумму и произведение случайных величин. Пусть с некоторым случайным экспериментом связаны две случайных величины Х и Y. Определим третью случайную величину Z, которую будем называть суммой (произведением) с.в. Х и Y и записывать в виде Z=X+Y ( Z=X∙Y ). Пусть в результате эксперимента с.в. Х приняла значение х, с.в. Y приняла значение у. Тогда будем считать, что в результате этого эксперимента с.в. Z приняла значение х+у (для произведения х ∙ у). Аналогично определяются суммы и произведения любого количества случайных величин, связанных с одним и тем же экспериментом. Выясним, как по известным законам распределения д.с.в. Х и Y записать закон распределения их суммы (или произведения). Итак, заданы законы распределения системы д.с.в. Х и Y:

Х	х1	х2	.......	хn
Р	p1	p2	.......	pn

Y	y1	y2	.......	ym
Р	q1	q2	.......	qm

Обозначим возможные значения с.в. Z=X+Y через {z₁, z₂, ... , z_l}, а вероятности, с которыми эти значения принимаются, через {r₁ ,r₂ , ... ,r_l}. Тогда искомый закон распределения с.в. Z запишется в виде:

Z	z1	z2	.......	zl
Р	r1	r2	.......	rl

Легко понять, что возможные значения с.в. Z=X+Y равны всевозможным суммам каждого возможного значения с.в. Х с каждым возможным значением с.в. Y : z_k = x_i + y_j . Вероятность каждого такого значения z_k равно вероятности того, что в результате эксперимента с.в. Х приняла значение х_i, a с.в. Y приняла значение у_j (такие вероятности ранее были обозначены p_ij, а их значения давались в таблице закона распределения системы с.в. Х и Y). Это означает, что если возможное значение z_k = x_i + y_j , то вероятность этого значения r_k=P(Z=z_k) =P((X=x_i)∙(Y=y_j)) = p_ij , т.е. r_k= p_ij . Если значения некоторых сумм x_i + y_j повторяются (т.е. одинаковы) при разных парах x_i и y_j , то значение их суммы z_k записывается в таблицу закона распределения Z один раз, но соответствующие вероятности складываются (аналогично тому, как было при составлении закона распределения функции от случайной величины).

Аналогично, возможные значения произведения случайных величин Z=X∙Y равны всевозможным произведениям каждого возможного значения с.в. Х с каждым возможным значением с.в. Y : z_k = x_i ∙ y_j . Вероятность каждого такого значения z_k равно вероятности того, что в результате эксперимента с.в. Х приняла значение х_i, a с.в. Y приняла значение у_j . Это означает, что если возможное значение z_k = x_i ∙ y_j , то вероятность этого значения r_k= p_ij . И опять если значения некоторых произведений x_{i ∙} y_j повторяются при разных парах x_i и y_j , то значение z_k записывается в таблицу закона распределения Z один раз, но соответствующие вероятности складываются . Рассмотрим далее примеры возникновения сумм и произведений случайных величин.

Пример. Пусть опять подбрасываются два (белый и черный) игровых кубика, Х – число выпавших очков на белом кубике, а Y – на черном. Рассмотрим с.в. Z – произведение числа очков на двух кубиках. Тогда, очевидно, Z=X∙Y .

Пример. Снова рассмотрим магазин, торгующий холодильниками и телевизорами, с.в.: Х – дневная прибыль от продажи телевизоров, Y – дневная выручка от продажи телевизоров. Тогда суммарная дневная выручка (от продажи холодильников и телевизоров) Z=X+Y .

Пример. Подбрасываются 2 монеты (например, копейка и полтинник). Составить закон распределения с.в. Z – общего числа орлов на монетах.

Решение. Введем вспомогательные с.в.: Х – число гербов на 1-ой монете, а Y – число гербов на 2-ой монете. Обе эти с.в., очевидно, независимы и имеют одинаковые законы распределения:

Х	0	1
Р	1/2	1/2

Y	0	1
Р	1/2	1/2

Очевидно, что общее число орлов на монетах Z=X+Y . Поэтому по приведенному выше правилу для составления закона распределения с.в. Z необходимо составить всевозможные суммы значений Х и Y , а соответствующие вероятности перемножить (так как с.в. Х и Y независимы, а потому p_ij = p_i ∙ q_j). В результате получим следующие значения Z : 0+0=0, 0+1=1, 1+0=1, 1+1=2, каждое из которых принимается с вероятностью . Поэтому получим

Z	0	1	1	2
P	1/4	1/4	1/4	1/4

Поскольку среди значений с.в. Z оказались повторяющиеся значения (z=1 два раза), то это значение записываем один раз, а соответствующие вероятности сложим. Окончательно получим следующий закон распределения общего числа орлов на двух подброшенных монетах:

Z	0	1	2
P	1/4	1/2	1/4