Функция от случайной величины

Пусть с некоторым случайным экспериментом связана с.в. Х и задана некоторая (произвольная) числовая функция у=f(x), область определения которой содержит все возможные значения с.в. Х. Образуем новую с.в. Y, связанную с тем же экспериментом и действующую по правилу: если в результате случайного эксперимента с.в. Х приняла значение х, то с.в. Y принимает значение у=f(x). Определенная таким образом с.в. Y называется функцией от с.в. Х и обозначатся f(X), т.е. Y=f(X).

Пример. Месячная зарплата сотрудника фирмы составляет 1% от месячной прибыли фирмы. Пусть с.в. Х – прибыль фирмы за месяц, а с.в. Y – зарплата сотрудника за этот же месяц. Ясно, что с.в. Y есть функция от с.в. Х: Y=0.01∙ Х. Случайная величина Y образована из с.в. Х и функции у=0.01х .

Рассмотрим вопрос о построении закона распределения с.в. Y=f(X) по известному закону распределения дискретной с.в. Х и известной функции у=f(x). Пусть д.с.в. Х принимает значения { х₁, х₂, … , x_n } с вероятностями {p₁, p₂, … , p_n}, а потому имеет закон распределения следующего вида:

Х	х1	х2	…	xn
Р	p1	p2	…	pn

Тогда понятно, что д.с.в. Y=f(X) принимает значения { f(х₁), f(х₂), … , f(x_n)} с теми же самыми вероятностями {p₁, p₂, … , p_n}, а потому имеет закон распределения следующего вида:

Y=f(Х)	f(х1)	f(х2)	…	f(xn)
Р	p1	p2	…	pn

Отметим, что различным значениям с.в. Х могут соответствовать одинаковые значения с.в. Y , т.е. в верхней строчке этой таблицы могут оказаться равные числа. В этом случае соответствующее значение записывается в таблицу один раз, но вероятность этого значения получается как сумма соответствующих вероятностей одинаковых значений.

Пример. Найти закон распределения квадрата числа очков, выпавших на кубике.

Решение. Пусть с.в. Х – число очков на подброшенном кубике, тогда закон распределения этой с.в., как известно, имеет вид

Х	1	2	3	4	5	6
Р	1/6	1/6	1/6	1/6	1/6	1/6

Случайная величина Y = X ² и есть квадрат числа очков, выпавших на кубике. По приведенному правилу закон распределения:

Y=Х2	12	22	32	42	52	62
Р	1/6	1/6	1/6	1/6	1/6	1/6

Y	1	4	9	16	25	36
Р	1/6	1/6	1/6	1/6	1/6	1/6

или

Пример. Случайная величина Х задана законом распределения

Х	−2	0	3
Р	0.3	0.6	0.1

Y	0	−6	0
Р	0.3	0.6	0.1

Найти закон распределения с.в. Y =Х² − Х − 6 .

Решение. Применяя соответствующее правило, имеем

Учитывая наличие повторяющихся значений и выстраивая их в возрастающем порядке, окончательно получим

Y	−6	0
Р	0.6	0.4

Пример (задача об автосалоне). Ежедневные расходы в автосалоне на обслуживание и рекламу автомобилей составляет 50 у.е. . Прибыль от продажи одного автомобиля составляет 100 у.е. . Число продаж автомобилей за 1 день есть случайная величина Х с законом распределения

Х	0	1	2	3
Р	0.4	0.3	0.2	0.1

Найти закон распределения с.в. Y – ежедневной прибыли автосалона.

Решение. Ежедневная прибыль Y, очевидно, есть функция числа продаж автомобилей: Y=100 ∙X − 50 . По правилу составления закона распределения функции от случайной величины, получаем закон распределения с.в. Y:

Y	−50	50	150	250
Р	0.4	0.3	0.2	0.1