Распределение Пуассона

Снова напомним ситуацию, которая была названа схемой Бернулли : производится n независимых испытаний, в каждом из которых некоторое событие А может появиться с одной и той же вероятностью р. Тогда для определения вероятности того, что в этих n испытаниях событие А появится ровно k раз (такая вероятность обозначалась P_n(k) ) может быть точно вычислена по формуле Бернулли , гдеq=1−p . Однако при большом числе испытаний n расчеты по формуле Бернулли становятся очень неудобными, так как приводят к действиям с очень большими числами. Поэтому (если помните − это когда-то проходилось при изучении схемы и формулы Бернулли при изучении первой части теории вероятностей «Случайные события») при больших n предлагались значительно более удобные (хотя и приближенные) формулы, которые оказывались тем точнее, чем больше n (формула Пуассона, локальная и интегральная формула Муавра-Лапласа). Если в схеме Бернулли число опытов n велико, а вероятность р появления события А в каждом испытании мала, то хорошее приближение дает упомянутая формула Пуассона , где параметра = n∙p . Эта формула и приводит к распределению Пуассона. Дадим точные определения

Дискретная случайная величина Х имеет распределение Пуассона, если она принимает значения 0, 1, 2, ... с вероятностями р₀ , р₁ , ... , которые вычисляются по формуле

а число а является параметром распределения Пуассона. Обращаем внимание, что возможных значений с.в. Х бесконечно много − это все целые неотрицательные числа. Таким образом, д.с.в Х с распределением Пуассона имеет следующий закон распределения:

Х	0	1	2	…	k	…
Р				…		…

При вычислении математического ожидания (по их определению для д.с.в. с известным законом распределения) придется теперь считать не конечные суммы, а суммы соответствующих бесконечных рядов (так как таблица закона распределения имеет бесконечно много столбцов). Если же посчитать суммы этих рядов, то окажется, что и математическое ожидание, и дисперсия случайной величины Х с распределением Пуассона совпадает с параметром а этого распределения:

, .

Найдем моду d(X) распределенной по Пуассону случайной величины Х. Применим тот же самый прием, что был использован для вычисления моды биномиально распределенной случайной величины. По определению моды d(X)=k, если вероятность наибольшая среди всех вероятностей р₀ , р₁ , ... . Найдем такое число k (это целое неотрицательное число). При таком k вероятность p_k должна быть не меньше соседних с ней вероятностей: p_k−1 ≤ p_k ≤ p_k+1 . Подставив вместо каждой вероятности соответствующую формулу, получим, что число k должно удовлетворять двойному неравенству:

.

Если расписать формулы для факториалов и провести простые преобразования, можно получить, что левое неравенство дает k ≤ а, а правое k ≥ а −1. Таким образом, число k удовлетворяет двойному неравенству а −1 ≤ k ≤ а , т.е. принадлежит отрезку [а −1, а] . Поскольку длина этого отрезка, очевидно, равна 1, то в него может попасть либо одно, либо 2 целых числа. Если число а целое, то в отрезке [а −1, а] имеется 2 целых числа, лежащих на концах отрезка. Если же число а не целое, то в этом отрезке есть только одно целое число.

Таким образом, если число а целое, то мода распределенной по Пуассону случайной величины Х принимает 2 соседних значения : d(X)=а−1 и d(X)=а . Если же число а не целое, то мода имеет одно значение d(X)=k, где k есть единственное целое число, удовлетворяющее неравенству а −1 ≤ k ≤ а , т.е. d(X)=[а] .

Пример. Завод отправил на базу 5000 изделий. Вероятность того, что в пути изделие повредится, равно 0.0002 . Какова вероятность, что повредится 18 изделий? Каково среднее значение поврежденных изделий? Каково наивероятнейшее число поврежденных изделий и какова его вероятность?