1 2 , 1 3 , 2 1 , 2 3 , 3 1 , 3 2 .

Пример 7. Снова имеется 10 различных подарочных предметов. Сколько есть способов подарить по одному из них двум незнакомым между собой людям А и В?

В отличие от упоминаемой ранее семейной пары (для которой важно только какие два предмета ей подарены и не важно в каком порядке), то теперь одна и та же пара предметов может быть подарена двумя разными способами: первый предмет – человеку А, а второй – человеку В, и наоборот. Если принять, что из подарочной пары предметов выбранный первым предназначен для А, а вторым – для В, то сказанное говорит о том, что подарочные пары, в которых одинаковые предметы отличаются лишь порядком следования, образуют два разных подарка. Поэтому опять используется формула для числа размещений: = 10!/8! = 90.

Пример 8. Сколькими способами можно из 5 шахматистов составить команду из 2 человек, но, в отличие от аналогичной задачи выше, один из этой пары должен играть на первой доске, а второй – на второй доске?

Поскольку разными командами теперь будут считаться и такие команды, которые состоят из одних и тех же двух игроков, но которые играют на разных досках (порядок важен!), то снова используем размещения, а не сочетания: = 5!/3! = 20.

Для расчетов вероятностей различных событий кроме определения числа комбинаций разных типов (рассмотренных выше) используется так называемое правило произведения, которое формулируется следующим образом. Если некоторый объект А может быть выбран n способами, и при каждом таком выборе объект В может быть выбран m способами, то пара объектов (А,В) может быть выбрана nּm способами. Это правило аналогичным образом формулируется для трех (А, В и С) и более объектов. Приведем примеры использования этого правила.

Пример 9. Кодовый замок имеет 2 окошка: буква А, Б или В цифра от 0 до 9 . Сколько существует различных кодировок этого замка?

Применяем правило произведения, считая, что объект А это одна из указанных букв левого окошка, а объект В – одна из упомянутых цифр. Ясно, что объект А может быть выбран тремя различными способами, а объект В десятью. Тогда по правилу произведения пара (А, В) (т.е. код замка) может быть выбрана 3ּ10=30 способами.

Пример 10. Сколько существует различных двузначных телефонных номеров?

Объект А – первая цифра номера (10 вариантов: 0, 1, … , 9), объект В – вторая цифра (те же варианты). Поэтому общее число телефонных номеров ( т.е. пар (А, В) ) есть 10ּ10=100.

Пример 11. Сколько существует двузначных чисел?

В отличие от предыдущего примера первая цифра может быть набрана девятью способами: 1, 2, … , 9; вторая же цифра – те же 10 вариантов. Поэтому всего существует 9ּ10 = 90 двузначных чисел.

Пример 12. В шкафу имеется 4 рубашки и трое брюк. Сколько способов одеться?

По правилу произведения получаем 4ּ3 = 12.

9. Задачи

Рассмотрим задачи на определение вероятности событий, в которых будут использоваться приведенные выше формулы комбинаторики.

Задача 1. Пусть имеются 5 пронумерованных карточек с буквами: К ₁ Н ₂ И ₃ Г ₄ А ₅ (в нижнем углу стоят номера карточек). Карточки перемешиваются, а затем снова выкладываются наугад (т. е. в случайном порядке). Какова вероятность, что получится слово КНИГА?

Пусть событие А – получилось слово КНИГА. По классической формуле вероятность этого события Р(А) = m / n. Найдем числа n и m. Общее число исходов опыта n равно числу различных способов, которыми можно выложить 5 карточек друг за другом. Это число, очевидно, равно числу перестановок из 5 предметов (карточек), т. е. Р₅ = =120. Из всех этих 120 возможных исходов опыта только один благоприятствует событию А – когда карточки будут выложены именно в первоначальном порядке: первая – с номером 1, вторая – с номером 2, третья – с номером 3, четвертая – с номером 4 и пятая – с номером 5. Поэтому m = 1. Таким образом, Р(А) = 1/120.

Задача 2. Изменим условие задачи. Имеется 6 карточек с буквами К ₁ Н ₂ И ₃ Г ₄ А ₅ Д ₆ . Карточки перемешиваются и взятые наудачу 5 из них снова выкладываются в случайном порядке. Какова вероятность, что получится слово КНИГА?

Пусть событие А – получилось слово КНИГА. Найдем числа n и m в формуле Р(А) = m / n. Общее число исходов опыта n равно числу различных способов, которыми можно из 6 карточек выбрать 5 карточек, причем, очевидно, важно в каком порядке выбраны эти 5 карточек. Поэтому используем формулу размещений из 6 по 5: = 6! / 1! = 720. Из всех этих 720 возможных исходов опыта только один благоприятствует событию А – когда взяты именно карточки с номерами 1, 2, 3, 4, 5 и выложены именно в нужном порядке: первая – с номером 1, вторая – с номером 2, третья – с номером 3, четвертая – с номером 4 и пятая – с номером 5. Поэтому m = 1. Таким образом, Р(А) = 1/720.

Задача 3. Имеются карточки с буквами Б ₁ А ₂ Н ₃ К ₄ А ₅ . Карточки перемешиваются и снова выкладываются случайным образом. Какова вероятность, что получится слово БАНКА?

Пусть событие А – получилось слово БАНКА. Найдем числа n и m для подстановки в формулу Р(А) = m / n. Как и в примере 1 общее число исходов опыта n равно числу различных способов, которыми можно выложить 5 карточек друг за другом: n = Р₅ = 120. Поскольку в слове БАНКА (в отличие от слова КНИГА) есть две одинаковые буквы (буквы А), то из всех этих 120 возможных исходов опыта уже 2 благоприятствуют событию А – когда карточки будут выложены именно в первоначальном порядке 1, 2, 3, 4, 5, а также когда карточки 2 и 5 меняются местами : 1, 5, 3, 4, 2. Поэтому m = 2, а Р(А) = 2/120 = 1/60.

Задача 4. Имеются карточки с буквами О ₁ К ₂ О ₃ Л ₄ О ₅ . Карточки перемешиваются и снова выкладываются случайным образом. Какова вероятность, что снова получится слово ОКОЛО?

Пусть событие А – получилось слово ОКОЛО. Снова общее число исходов опыта n равно числу различных перестановок из 5 предметов: n = = 120. Поскольку в слове ОКОЛО есть 3 одинаковые буквы (буквы О – карточки с номерами 1, 3 и 5), то число благоприятных исходов m равно числу способов, которыми можно переставить эти 3 карточки между собой (при этом нужное нам слово сохраняется). Очевидно, это можно сделать = 3! = 6 способами, а потому m = 6. Поэтому Р(А) = m / n = 6 / 120 = 1 / 20.

Задача 5 (важная!). В корзине находится 10 шаров, из которых 7 белых и 3 черных.

○○○○○○○ ●●●

Шары перемешивают и наугад вынимают 6 шаров. Какова вероятность событий: А – все шары белые, В – белых ровно 4.

Эксперимент состоит в том, что из 10 шаров случайным образом вынимают 6 шаров. Поскольку в интересующих нас событиях А и В речь идет о том или ином количестве белых шаров (и не важно, в каком порядке эти шары вынуты), то для определения общего числа исходов эксперимента (как для вычисления вероятности А, так и В) используется формула числа сочетаний (а не размещений) из 10 по 6: n = . Найдем число исходов m, которые благоприятствуют событию А – все 6 вынутых шаров белые: {○○○○○○}. Ясно, что группа шаров такого типа может быть набрана только из группы белых шаров (их всего 7), лежащих в корзине. Сколькими способами можно из этих 7 шаров выбрать 6, если не важен порядок выбора шаров? Снова используем формулу для числа сочетаний: m = _. Поэтому Р(А) = = / = 1/30. Найдем теперь число исходов m, благоприятствующих событию В – из 6 вынутых шаров ровно 4 белых (а потому ровно 2 черных). Поэтому нас интересует число различных комбинаций такого типа: { ○○○○ ●● }. Мысленно разделим такую комбинацию на две части (обозначив их буквами С и D). Объект С состоит их 4 белых шаров: С = { ○○○○ }, а объект D – из двух черных: D = { ●● }. Четыре белых шара могут быть набраны только из группы 7 белых шаров, лежащих в корзине. Поэтому общее число способов выбрать объект С равно _. Аналогично, 2 черных шара могут быть набраны только из группы 3 черных шаров, имеющихся в корзине. Поэтому число способов выбрать объект типа D равно _. По правилу произведения (см. § 8) пара объектов {C, D} (а это и будут интересующие нас комбинации типа { ○○○○ ●● }) может быть набрана ּ способами, а потому m = ּ. Таким образом, Р(В) = ּ / = =1/2. Такой результат говорит о том, что если много раз повторять эксперимент (вынимать шестерки шаров из корзины), то примерно в половине случаев будут извлекаться 4 белых и 2 черных шара.

Задача 6. Подобные предыдущей, задачи о шарах являются модельными в том смысле, что многие интересные практические задачи можно сформулировать на языке случайного отбора разноцветных шаров из корзины и, таким образом, сделать понятным способ их решения. Таковы, например, задачи о счастливых лотерейных билетах, о выборке стандартных и нестандартных деталей и многие другие. Рассмотрим задачу о выигрыше в игре “Спортлото 6 из 36”. Рассмотрим события А_i – отгадано ровно i чисел (из шести выигрышных), i = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6. Найдем вероятности этих событий. Будем считать выигрышные 6 чисел белыми шарами, а остальные 30 невыигрышных чисел – черными шарами. Зачеркивание шести чисел в карточке “Спортлото” равносильно случайной выборке 6 шаров из корзины, в которой 6 белых и 30 черных шаров. Тогда событие А_i можно переформулировать в такой форме: среди 6 вынутых шаров ровно i белых. Теперь уже тот, кто разобрался в решении предыдущей задачи, без труда решит и эту, и делать это уже можно не со столь подробными объяснениями, что в предыдущей задаче. По классической формуле Р(А_i) = m / n. Общее число исходов n = . Для события А₀ (все вынутые шары черные, т. е. не угадано ни одного числа) число m благоприятных исходов равно числу сочетаний из 30 по 6, так как такого вида шестерка шаров может быть набрана только из 30 черных шаров: m = _. Поэтому Р(А₀) = / = 0,305. Поскольку получившаяся вероятность все же меньше 0.5, то это означает, что угадать хотя бы одно число более вероятно, чем не угадать ни одного. Именно поэтому за одно и два угаданных числа выигрыша не полагается (иначе игра стала бы разорительной для ее организаторов). Для события А₆ (все шары белые, т. е. угаданы все 6 чисел) число благоприятных исходов m = 1, так как белых шаров всего 6 и именно эти и только эти шары должны попасть в выбранную шестерку шаров. Этот же результат можно было бы получить и из общей формулы: так как шестерка белых шаров может быть набрана только из группы белых шаров в корзине (а их всего 6), то m = = 1. Поэтому Р(А₆) = 1/ = 0,000000513 (т. е. все 6 чисел угадывают в среднем 5 человек из 10 миллионов). Рассмотрим теперь события А_i : среди 6 вынутых шаров ровно i белых, а потому остальные (6 – i) черные (i = 1, 2, 3, 4, 5). Так как белые шары могут быть набраны только из группы всех белых, а черные из группы всех черных шаров, то для события А_i число благоприятных исходов m = ּ. Поэтому P(А_i) = ּ/ . По этой формуле легко вычислить, что Р(А₁) = 0,439 (почти половина отгадывает в точности одно число!), Р(А₂) = 0,211 , Р(А₃) = 0,0417 , Р(А₄) = 0,00335 , Р(А₅) = 0,0000924. Мы еще вернемся к этой задаче, но уже полученные результаты наводят на размышления.

Задача 7. Если Вы разобрались в предыдущих двух задачах, то легко сможете понять общую формулу в задаче о выемке шаров. Эта формула далее будет использоваться при решении различных задач, которые допускают переформулировку на язык шаров (как, например, задача 6, в чем Вы только что убедились). Сформулируем общую постановку задачи о шарах. В корзине имеется n белых и m черных шаров (т.е. всего n + m шаров). Из нее случайным образом вынимают k шаров. Какова вероятность, что среди них ровно i белых? Обозначим нужное нам событие А_i – среди выбранных шаров ровно i белых шаров (а потому ровно k – i черных). Поскольку опыт состоит в том, что из n + m шаров выбирается k штук, то общее число равновозможных исходов опыта равно . Посчитаем число благоприятствующих событию А_i исходов. Поскольку i белых шаров могут быть выбраны только из совокупности имеющихся n белых шаров, а остальные k – i черных шаров из общей совокупности m черных шаров, то по правилу произведения (§ 8) число благоприятных исходов равно ּ. По классическому определению вероятности получаем общую для такого класса задач формулу:

Р(А_i) = ּ/ . (9.1)