4) Представление чисел в компьютере.

Для записи числа выделяется фиксированное количество двоичных разрядов.

Обычно 16 двоичных разрядов (2 байта).

Такая комбинация связанных ячеек, обрабатываемая совместно, называется машинным словом.

1

0

0

0

1

1

0

1

0

1

1

1

0

0

1

0

Знак в старшем разряде: 0 – «+», 1 – «-».

Целочисленная двоичная арифметика

• Сложение

• Переполнение

• Умножение

• Вычитание

• Дополнительный код

• Сложение с дополнительным кодом.

Вычитание

1. Выбрать большее по модулю число

2. Вычесть из него меньшее по модулю.

3. Выяснить знак большего.

4. Присвоить этот знак разности.

Вычитание = сложение с дополнением.

• Дополнительный код или дополнение.

• Дополнение (D)k-разрядного целого числаZвq-ричной системе счисления – величинаD=q^k-Z.

• D=((q^k-1)-Z)+1

D=((q^k-1)-Z)+1

Число q^k-1 состоит изkнаибольших в данной системе счисления цифр (q-1).

9999₁₀,FFFFF₁₆, 1111111₂.

(q^k-1)-Zможно получить путем дополнения до (q-1) каждой цифры числаZи последующим прибавлением к последнему разряду 1.

Дополнение числа 278₁₀число {(9-2)(9-7)(9-8)}+1,

То есть 721+1=722.

Дополнения:

В двоичной системе

Дополнение 1 – 0,

А дополнение 0 – 1.

Дополнение – Инверсия.

1100102

Инверсия: 001101

Дополнение: 001101+1=001110.

Сложение с дополнительным кодом.

8 бит

Найти разность 121₁₀ – 23₁₀.

121₁₀= 01111001₂

23₁₀=00010111₂

Дополнительный код:11101000+1=11101001.

Операция деления целых чисел не определена, так как в общем случае приводит к появлению дробных чисел.

Допустима операция целочисленного деления и операция остатка от деления.

В компьютерной технике применяются три формы записи (кодирования) целых чисел со знаком: прямой код, обратный код, дополнительный код.

Арифметика нормализованных чисел

10-ная система счисления.

Число Х₁₀называется нормализованным, если оно представлено в виде

X₁₀=±M₁₀*10^±p10

Нормализованная форма.

M₁₀- мантисса числа.

0,1≤ M₁₀<1

±p10 – порядок нормализованного числа. Обязательно целое.

Нормальная форма.

M₁₀- мантисса числа.

1≤ M₁₀<10

±p10 – порядок нормализованного числа. Обязательно целое.

При нормализации выделяют:

• Знак числа,

• мантиссу числа,

• знак порядка,

• порядок.

2-ная система счисления.

Число Х₂называется нормализованным, если оно представлено в виде

X₂=±M₂*2^±p2

-101,01₂=-0,10101₂*2¹¹²,

Где 0,1₂≤M₂<1

В памяти компьютера.

Pascal. ТипReal.

6 байт.

48 – знак числа,

47 – знак порядка,

46-41 – порядок,

40-1 – мантисса.

Порядок: 63 – [-39;38]

Мантисса кодируется как целое число.

Машинный ноль <2.3*10^-39

В компьютерной технике применяются три формы записи (кодирования) целых чисел со знаком: прямой код, обратный код, дополнительный код.

Целые числа со знаком обычно занимают в памяти один, два или четыре байта, при этом самый левый (старший) разряд содержит информацию о знаке числа. Знак “плюс” кодируется нулем, а “минус” — единицей.

Обычно отрицательные десятичные числа при вводе в машину автоматически преобразуются в обратный или дополнительный двоичный код.

Целые числа

Прямой код. Прямой код двоичного числа совпадает по изображению с записью самого числа. Значение знакового разряда для положительных чисел равно 0, а для отрицательных чисел 1.

Обратный код. Обратный код для положительного числа совпадает с прямым кодом. Для отрицательного числа все цифры числа заменяются на противоположные (1 на 0, 0 на 1), а в знаковый разряд заносится единица.

Дополнительный код. Дополнительный код положительного числа совпадает с прямым кодом. Для отрицательного числа дополнительный код образуется путем получения обратного кода и добавлением к младшему разряду единицы.  В любом представлении старший бит определяет знак числа:  0 - положительное число;  1 - отрицательное число

Пример.

Для числа +1101: 

Прямой код	Обратный код	Дополнительный код
0,0001101	0,0001101	0,0001101

Для числа -1101:

Прямой код	Обратный код	Дополнительный код
1,0001101	1,1110010	1,1110011