Свойства алгоритма БПФ по основанию 2
1. Алгоритм состоит из этапов. На каждом этапе происходит изменение размерности БПФ вдвое по сравнению с предыдущим.
Kэт = log2 N
2. На каждом этапе необходимо выполнить N/2 операций “бабочка”.
A
|
K |
|
W |
B |
N |
|
K |
|
|
X = A + B WN |
2 |
операции комплексного сложения и |
Y = A - B W K |
1 |
операция комплексного умножения |
|
|
|
N |
|
|
3. Общее число базовых операций "бабочка":
Kоп N2 log2 N
4.Для вычисления базовой операции достаточно иметь одну дополнительную ячейку для хранения произведения. Остальные результаты размещаются в освободившиеся ячейки. Это алгоритм с замещением.
Теоретические основы цифровой обработки сигналов. Слайд 122
Сравнение вычислительных затрат
KДПФ/БПФ2
2500
2000
1500
1000
K ДПФ / БПФ2 |
|
N 2 |
|
|
N log2 |
N |
|||
|
|
КДПФ/БПФ2
70
50
30
10 |
|
|
|
|
|
30 N |
0 |
5 |
10 |
15 |
20 |
25 |
500
0 2 |
16 |
64 |
256 |
1024 |
4096 |
16384 |
N |
Выигрыш в количестве операций алгоритма БПФ2 по сравнению с ДПФ в зависимости от размерности N
Теоретические основы цифровой обработки сигналов. Слайд 123
Перестановка данных и двоичная инверсия
Для алгоритма по основанию 2 и прореживанием по времени закон чередования входных отсчетов описывается двоично-инверсным порядком. Пример: N = 8 L = log2 8 = 3
Способы получения поворачивающих множителей
1.Табличный – требует много памяти, но имеет наибольшее быстродействие
2.Последовательный – не требует много памяти, но имеет низкое быстродейст.
3. Рекуррентный W K W K L W L |
с изменением шага от этапа к этапу и |
||
N |
N |
N |
с начальным условием WN0 1 на каждом этапе |
Теоретические основы цифровой обработки сигналов. Слайд 124
Алгоритм БПФ с прореживанием по частоте
Входная последовательность разбивается на 2 половины: x1 (n) x(n), при n 0, 1, 2 ... N2 1
x (n) x(n |
N |
), |
при n 0, 1, |
2 ... |
N |
1 |
|
|
|||||
2 |
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|||
Тогда N-точечное ДПФ последовательности {x(n)}:
|
N |
1 |
|
N 1 |
|
|
N |
1 |
|
|
N 1 |
|
N |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
2 x |
(n) W (n |
||||||
X (k) |
|
|
x(n) W nk |
|
|
x(n) W nk |
x (n) W nk |
|
)k |
|||||||
|
|
|
2 |
|||||||||||||
|
|
N |
|
N |
|
|
1 |
N |
2 |
N |
|
|
||||
|
n 0 |
|
n |
N |
|
|
n 0 |
|
|
n 0 |
|
|
|
|||
|
N |
|
2 |
N 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Т.к. WN2 k |
e j k |
то |
|
X (k) [x1(n) e j k x2 |
(n)] WNnk |
|
|
|||||||||
n 0
Теоретические основы цифровой обработки сигналов. Слайд 125
Алгоритм БПФ с прореживанием по частоте
|
N |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
k |
e j k |
1 |
|
|
|
|
||||||
Поскольку WN2 |
то X(k) для четных и нечетных k: |
|
||||||||||||
|
|
|
N |
1 |
|
|
N 1 |
|
|
|
|
|
||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
||||
X (2k) [x1 (n) x2 (n)] WN2nk |
[x1(n) x2 (n)] WNnk |
|
||||||||||||
|
|
|
n 0 |
|
|
n 0 |
1 442 4 43 |
2 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f(n) |
|
|
|
|
|
|
|
N |
1 |
|
|
|
|
N |
1 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
X (2k 1) [x1 |
(n) x2 |
(n)] WNn(2k 1) |
{[x1(n) |
x2 (n)] WNn} WNnk |
||||||||||
|
|
|
|
|
n 0 |
|
|
|
|
n 0 1 4 4 42 4 4 43 |
2 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
g(n) |
|
X(2k) получаются из N/2-точечных ДПФ последовательности: f(n) = x1(n) + x2(n) ; n = 0, 1, 2…N/2 – 1
X(2k+1) получаются из N/2-точечных ДПФ последовательности:
g(n) = [x1(n) - x2(n)]WNn n = 0, 1, 2…N/2 – 1
Теоретические основы цифровой обработки сигналов. Слайд 126
Пример построения алгоритма БПФ размерности 8 с прореживанием по частоте
Этап 1
X(0)
X 1 (u) X(1)
X(2)
X(3)
|
X(4) |
|
X(5) |
X 2 |
(u) |
|
X(6) |
|
X(7) |
-f(0)-
-f(1)-
-f(2)-
-f(3)-
-g(0)-
-g(1)-
-g(2)-
-g(3)-
4-х
точечн.
ДПФ
4-х
точечн.
ДПФ
X(0)
X(4)
X(2)
X(6)
X(1)
X(5)
X(3)
X(7)
Теоретические основы цифровой обработки сигналов. Слайд 127
Алгоритмы БПФ по основанию 2
Направленный граф алгоритма БПФ по основанию 2 с прореживанием по частоте.
Теоретические основы цифровой обработки сигналов. Слайд 128
Различия алгоритмов БПФ с прореживанием по времени и по частоте
по времени |
по частоте |
1. Порядок следования входных отсчетов: |
|
двоично-инверсный |
прямой |
2. Порядок следования выходных отсчетов:
|
|
прямой |
двоично-инверсный |
||
|
|
3. Базовая операция “бабочка” |
|
||
A |
|
K |
A |
|
X = A + B |
|
|
X = A + B WN |
|
|
|
|
W |
K |
|
W |
|
B |
N |
B |
K |
||
|
Y = A - B WNK |
NK |
|||
|
|
|
Y = (A – B) WN |
||
Теоретические основы цифровой обработки сигналов. Слайд 129
Вычисление обратного ДПФ по алгоритму прямого
Обратное ДПФ {x(n)} для последовательности {X(k)}, k=0,1,…,N-1
|
1 |
N 1 |
|
nk |
|
x(n) |
|
|
X (k) W |
|
|
N |
|
|
- обратное ДПФ |
||
|
|
|
|
||
|
k 0 |
|
|
|
N x* (n) |
N 1 |
|
X * (k) W |
nk |
|
|
|
* - знак комплексного сопряжения |
1k 0442 4 43
ДПФ послед-ти X *(k)
Тогда: |
|
1 |
N 1 |
|
x(n) |
[ X * (k) W nk ]* |
|||
|
N |
|||
|
|
k 0 |
Т.о. можно использовать алгоритмы БПФ для вычисления ДПФ и ОДПФ
Теоретические основы цифровой обработки сигналов. Слайд 130
Алгоритмы БПФ по основанию 4
По аналогии с основанием 2 можно построить алгоритмы БПФ по основанию 4. ДПФ размерности 4 не требует операций комплексного умножения, так
как умножение на W exp |
|
2 |
|
|
j выполняется перестановкой реальной и мнимой |
||
компонент |
4 |
|
|
|
|
||
3 комплексных умножения
12 комплексных сложений
Операция «бабочка» по основанию 4 с прореживанием по времени
Выигрыш по количеству операций комплексного умножения по сравнению с алгоритмом БПФ по основанию 2 около 25%.
Теоретические основы цифровой обработки сигналов. Слайд 131