Графическая интерпретация задачи проектирования
Теоретические основы цифровой обработки сигналов. Слайд 92
Теорема Чебышева
r 1
Если P(e j ) a(n)cos n , то необходимое и достаточное условие,
|
|
n 0 |
|
|
что P(ej ) наилучшая аппроксимация по минимальному критерию функции |
||||
ˆ |
j |
) , состоит в наличии не менее r+1 |
j |
) |
D(e |
|
экстремума функции E(e |
||
в области А т.е. для 1< 2< 3 ... < r+1 |
|
|
||
|
|
E (e j i ) E (e j i 1 ), |
i 1, 2,..., r |
|
E (e j ) max E(e j )
A
Теоретические основы цифровой обработки сигналов. Слайд 93
Решение задачи оптимизации
|
* |
(e |
j i |
) |
|
K |
|
|
D(e |
j |
) |
||||
H |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
W (e |
j |
) |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dH * (e j ) |
|
|
|
|
0; |
i 1,2...r |
|||||||||
|
|
|
|||||||||||||
|
|
d |
|
|
|
i |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Сущность итерационного алгоритма :
Избежать решения системы нелинейных уравнений относительно
экстремальных частот путем итерационной процедуры их уточнения и решения системы из r+1 линейных уравнений относительно r
коэффициентов и погрешности .
Теоретические основы цифровой обработки сигналов. Слайд 94
Процедура проектирования оптимальных фильтров
1. Задание D(ej ), W(ej ) и N |
|
|
|
Задать r+1 экстремумов |
||||
ˆ |
j |
ˆ |
j |
) |
и P(e |
j |
) |
|
2. Пересчет D(e |
|
), W (e |
|
|
|
|||
3. Решение задачи аппроксимации |
|
Рассчитать 1, 2 |
||||||
4. Расчет ИХ фильтра h(n) |
|
|
|
|
|
|||
P(ej ) |
|
|
|
|
|
|
|
Интерполировать P(ej ) |
1+ |
|
|
|
|
|
|
|
Рассчитать E(ej ), найти |
11 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1- 1 |
|
|
|
|
|
|
|
экстремумы |E(ej )|> |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Да |
Экстремумы |
|
|
|
|
|
|
|
|
изменились? |
|
|
|
|
|
|
|
|
Нет |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
Наилучшая |
|
|
|
|
|
|
|
аппроксимация |
|
- 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Теоретические основы цифровой обработки сигналов. Слайд 95
Свойства оптимальных ФНЧ
Параметры оптимального ФНЧ: |
Ширина переходной полосы: |
N, Fp, Fs, K |
F=Fs-Fp |
|
Оценка качества фильтра - |
|
нормированная ширина переходной |
|
полосы |
|
D=(N-1) F |
|
При N (>50) D не зависит от N |
|
|
Теоретические основы цифровой обработки сигналов. Слайд 96
Сравнение КИХ ФНЧ, спроектированных разными методами
Теоретические основы цифровой обработки сигналов. Слайд 97
БИХ-фильтры с линейной ФЧХ
Метод 1
A(z) X (z 1)
F(z) H (z)A(z) H (z)X (z 1)
B(z) F(z 1) H (z_1)X (z)
Y (z) H (z)B(z) X (z)H (z)H (z 1)
HЭКВ (z) Y (z) / X (z) H (z)H (z 1)
HЭКВ (e j ) H (e j ) 2
(e j ) 0
Теоретические основы цифровой обработки сигналов. Слайд 98
БИХ-фильтры с линейной ФЧХ
Метод 2
A(z) X (z 1 ) F(z) H (z)X (z 1 )
B(z) F(z 1) H (z 1)X (z)
G(z) H (z)X (z)
Y (z) B(z) G(z) X (z) H (z) H (z 1)
HЭКВ (z) H (z) H (z 1)
HЭКВ (e j ) 2 H (e j ) cos ( )
Теоретические основы цифровой обработки сигналов. Слайд 99
Всепропускающие фильтры
Назначение: линеаризация ФЧХ.
Необходимое условие:
должен существовать нуль |
p re j |
|
для каждого полюса |
z |
1 e j |
|
|
r |
|
|
|
|
1 |
e |
j |
1 |
e |
j |
|
|
|
|
z |
|
z |
|
|
|
||
|
|
|
|
r |
|
|
r |
|
|
|
H (z) |
|
|
|
|
|
|
||||
|
z re j z re j |
|||||||||
|
r2 z2 |
2rz cos 1 |
|
|
|
|
||||
r2 (z2 2rz cos r2 ) |
|
|
||||||||
|
|
|
||||||||
|
|
2 |
|
2 |
z cos |
1 |
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
2 |
|
|
||||
|
|
|
|
r |
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
z2 2rz cos r2 |
|
||||||||
|
|
|
|||||||
H (e j ) const
Теоретические основы цифровой обработки сигналов. Слайд 100
Классификация методов расчета БИХ-фильтров
Задача аппроксимации АЧХ, ФЧХ, ГЗ или ИХ за счет выбора коэффициентов фильтра.
|
|
|
N |
|
H ( z ) |
Y ( z ) |
|
bi z i |
; a0 @1; |
i 0 |
||||
X ( z ) |
N |
|||
|
|
ai z i |
|
|
|
|
|
i 0 |
|
3 группы методов расчета:
•расчет ЦФ по фильтрам непрерывного времени;
•прямые методы расчета разложения и количества нулей и полюсов в Z-плоскости;
•оптимизация при наличии ограничений.
Теоретические основы цифровой обработки сигналов. Слайд 101