Циклические коды.
Широкое распространение получил класс линейных кодов, которые называются циклическими. Название этих кодов происходит от их основного свойства: если кодовая комбинация а1, а2,……, аn-1, anпринадлежит циклическому коду, то комбинацииan,a1,a2,……,an-1;an,an-1,a1,a2,……,an-2и т.д., полученные циклической перестановкой элементов, также принадлежат этому коду.
Общим свойством всех разрешенных КК ЦК (как полиномов) является их делимость без остатка на некоторый выбранный полином, называемый производящим. Синдромом ошибки в этих кодах является наличие остатка от деления принятой КК на этот полином. Описание циклических кодов и их построения обычно проводят с помощью многочленов (полиномов). Цифры двоичного кода можно рассматривать как коэффициенты многочлена переменной х.
Поскольку
любое число в произвольной системе
счисления можно записать в виде
an-1xn-1+an-2xn-2+…..+a0x0,
где х – основание системы счисления,an-1,….,a0– цифры этой
системы, то переход от двоичного числа
к записи в виде многочлена осуществляется
следующим образом:
КК ЦК описываются полиномами, обладающими определенными свойствами. Последние определяются свойствами и операциями той алгебраической системы, к которой принадлежит множество полиномов. Например, в алгебраической системе, которая носит название поля Галуа (GF(x)), действие над коэффициентами полиномов (сложение, вычитание) производится по модулю два. Умножение полиномов должно производиться по модулю некоторого полинома Рr(x). Эти два условия определяют замкнутость указанных операций: их применение не приводит к кодовым комбинациям, длина которых больше длинны заданного кодаn.
В циклических кодах разрешенными КК являются те, которые делятся на образующий полином без остатка из всех возможных полиномов степени n(2n) только 2кполиномов (k=n-r) имеют нулевой остаток при делении. Они и образуют множество различных КК ЦК.
ЦК являются блочными, равномерными и линейными, линейность кодов вытекает из того, что если кодовые слова принадлежат ЦК, то их линейная комбинация будет также принадлежать ЦК, т.е. обязательно делится без остатка на производящий полином. Это свойство существенно упрощает аппаратурную реализацию кода.
3.3. Построение кодера и декодера цк Задача №1.
Нарисовать кодер циклического кода, для которого производящий полином задан числом (2N+1), гдеN=9.
Решение
Производящий полином задан числом 19, которому соответствует число в двоичной системе счисления 10011, следовательно,
Р
(х)
=x4+x+1.
Степень производящего полинома определяет число проверочных элементов (r) в кодовой комбинации циклического кода. В нашем случаеr= 4.
Кодирующее устройство (кодер) состоит из регистра с обратными связями, число ячеек памяти которого равно числу проверочных элементов, и сумматоров по модулю два, число которых на единицу меньше числа ненулевых членов производящего полинома Р(х), и в нашем случае равно 2.
На рис. 3.3.1. приведена схема кодера циклического кода, производящий полином которого имеет вид: Р(х) = x4+x+ 1.
Рис.3.3.1 Схема кодера циклического кода.
11001
1 3 2 4
