2.Кодирование в системах пдс

2.1 Классификация кодов

Наиболее широкое применение в системах ПДС получили линейные и групповые коды.

В простейшем случае код задается перечислением всех своих кодовых комбинаций (КК). Но данное множество можно рассматривать как некоторую алгебраическую систему, называемую группой с заданной на ней операцией по модулю 2 (

Обычно говорят, что группа является замкнутой относительно операции “”

Множество Gс определенной на ней групповой операцией является группой, если выполняются следующие условия:

1. Ассоциативность;

2. Существование нейтрального элемента;

3. Существование обратного элемента.

Пользуясь свойством замкнутости групповой код можно задать матрицей.

Пр.:

Все остальные элементы группы (кроме ООО) могут быть получены путем сложения по модулю 2 различных сочетаний строк матрицы. Данная матрица называется производящей матрицей. КК, составляющие матрицу, являютсялинейно зависимыми.

В системах ПДС, как правило, используются корректирующие коды. Последовательностиn– элементного кода, использующие для передачи, называютсяразрешенными. Если все возможные последовательностиn– элементного кода являются разрешенными, то код называетсяпростым, т.е. неспособным обнаруживать ошибки.

Перебрав все возможные пары разрешенных КК, можно найти минимальное значение d, которое называется кодовым расстоянием.

Для того, чтобы код мог обнаружить ошибку, необходимо соблюдение неравенства N_A <N₀(N_A– число разрешенных комбинацийn– элементного кода,N₀=2ⁿ). При этом неиспользуемыеn– элементные КК называютсязапрещенными. Они определяют избыточность кода. В качествеN_A разрешенных КК надо выбирать такие, которые максимально отличаются друг от друга.

Исправление ошибок возможно также только в том случае, если переданная разрешенная комбинация переходит в запрещенную. Вывод о том, что такая КК передавалась, делается на основании сравнения принятой запрещенной комбинации со всеми разрешенными.

Помехоустойчивые коды делятся на блочные и непрерывные. К блочнымотносятся коды, в которых каждому символу алфавита сообщений соответствует блок изn(i) элементов, гдеi– номер сообщения.

Если длина блока постоянна и не зависит от номера сообщения, то код называется равномерным. Если длина блока зависит от номера сообщения, то блочный код называетсянеравномерным. Внепрерывныхкодах передаваемая информационная последовательность не разделяется на блоки, а проверочные элементы размещаются в определенном порядке между информационными. Проверочные элементы в отличие от информационных, относящихся к исходной последовательности, служат для обнаружения и исправления ошибок и формируются по определенным правилам.

Равномерные блочные коды делятся на разделимыеинеразделимые. В разделимых кодах элементы разделяются на информационные и проверочные, занимающие определенные места в КК. В неразделимых кодах отсутствует деление элементов на информационные и проверочные.

2.2 Циклические коды

Широкое распространение получил класс линейных кодов, которые называются циклическими. Название этих кодов происходит от их основного свойства: если КК a₁,a₂, …,a_n-1,a_nпринадлежит циклическому коду, то комбинацииa_n,a1,a₂, …,a_n-1, полученные циклической перестановкой элементов, также принадлежат этому коду.

Общим свойством всех разрешенных КК циклических кодов (как полиномов) является их делимость без остатка на некоторый выбранный полином, называемый производящим. Синдромом ошибки в этих кодах является наличие остатка от деления принятой КК на этот полином. Описание циклических кодов и их построение обычно проводят с помощью многочленов. Цифры двоичного кода можно рассматривать как коэффициенты многочлена переменной x.

В циклических кодах разрешенными КК являются те, которые имеют нулевой вычет по модулю P_r(x), т.е. делятся на образующий полином без остатка.

Циклические коды являются блочными, равномерными и линейными. По сравнению с обычными линейными кодами на разрешенные КК циклического кода накладывается дополнительное ограничение: делимость без остатка на порождающий полином. Это свойство существенно упрощает аппаратурную реализацию кода.

Возможность исправления одиночной ошибки связана с выбором образующего полинома P_r(x). Точно так же, как и в обычных линейных кодах, вид синдрома в циклических кодах зависит от места, где произошла ошибка. Среди множества полиномовP_r(x) существуют так называемые примитивные полиномы, для которых существует зависимостьn=2^r-1. Это означает, что при возникновении ошибки в одном изnразрядов КК, число различных остатков также будет равноn.

Чтобы получить разделимый циклический код из заданной КК G(x) нужно:

1.Умножить G(x) наx^r, гдеr– число проверочных элементов.

2.Найти остаток от деления полученного полинома на производящий полином: R(x)=G(x)x^r/P(x).

3.Сложить G(x)x^rс полученным остатком.G(x)x^r +R(x).

Проверочными элементами в полученной КК будут последние rэлементов, а остальные – информационные.