3 Порядок и пример расчета афнч

Расчет предполагает выбор фильтра, обеспечивающего заданные требования с наименьшим порядком Nи удовлетворяющего требованиям по групповому запаздыванию сигнала.

Поскольку групповое время запаздывания является производной от аргумента амплитудно-частотной характеристики фильтра (H(w)) (записи формул приводятся для средыMathCAD)

,

а H(w) определяется через значения полюсов аппроксимирующих полиномов, количество и значения которых можно проводить по следующей схеме:

- определение порядков фильтров Баттерворта и Чебышева для заданных значений А_max,

А_min,w_n(нормированной частоты полосы непропусканияf_д/2 деленной наf_в), для фильтра Баттерворта:

где

,

N_bприсваивается целое значение, но не меньше расчетного (N_b:=ceilN_b)

А для фильтра Чебышева

,

N_с:=ceil(N_с)

- для фильтра, рассчитывается зависимость τ(w) и строятся две зависимости на одном графике:

для фильтра Баттерворта

τ_d:=Ψ(w) и τ_b:=Ψ₁(w),

а для фильтра Чебышева:

τ_d:= ψ(w) и τ_с:= ψ₁(w),

где wнормированная относительноf_вчастота (f, деленная наf_в)

τ_dстроится по данным таблицы 2 путем кусочно-линейной или сплайн интерполяции (в средеMathCAD), равнаf/10, гдеf– текущая частота в Гц;

- если для всех частот, приведенных в таблице 2

τ_d≥ τ_сили τ_d≥ τ_b,

то фильтр удовлетворяет всем требованиям поставленной задачи. Если у него не удовлетворяются требования по групповой задержке, то можно сделать вывод, что при заданных значениях А_max, А_minиw_nданный фильтр не может удовлетворять требованиям стандартов по групповому запаздыванию сигнала и следует руководствоваться указаниями пункта д) раздела 2.

Замечание

следует отметить, что фильтры Баттерворта обеспечивают максимально плоское ослабление в полосе пропускания (легче удовлетворить требования по А_maxи τ(w), а фильтры Чебышева обеспечивают значительно большее рабочее ослабление А_minчем фильтр Баттерворта при равных значениях А_maxиN.

Этот фильтр, эллиптический фильтр или фильтр Кауэра, объединяет в себе свойства фильтров Чебышева первого и второго рода, поскольку АЧХ такого фильтра имеет пульсации заданного уровня, как в полосе пропускания, так как и в полосе задерживания, что позволяет получить высокую крутизну скатов АЧХ.

Функция передачи имеет как полюсы, так и нули. Нули, как и в случае с фильтром Чебышева второго рода, являются чисто мнимыми и образуют комплексно-сопряженные пары. Количество нулей функции равно максимальному четному числу, но не превосходит порядок фильтра.

Фильтры Бесселя позволяют получить наименьшее значение τ(w), однако их частота среза зависит от порядка фильтраNи поэтому они не рассматриваются.

Ниже приводятся выражения, необходимые для расчета зависимостей

τ_b(w) и τ_d(w).

Для фильтра Баттерворта (запись в среде MathCAD):

p(w):=i·w

Для фильтра Чебышева:

Таким образом порядок расчета АФНЧ следующий:

3.1 Для выбранных параметров в программной среде «MathCAD» определяются значенияNbиNc.

3.2 Записываются программы расчета τ_b(w) и τ_c(w).

3.3 Выполняется кусочно-линейная или сплайн-интерполяция функции τ_d(w) (таблица 2).

3.4 На одном графике строятся зависимости τ_d(w), τ_b(w) и τ_c(w). После анализа графиков необходимо сделать выводы.

В качестве примера на рисунке 6 приведены графики указанных выше зависимостей для А_min=20, А_max=0,5w_n=1,6, из анализа которых следует, что заданным условиям и допустимой задержке удовлетворяют оба ФНЧ, но ФНЧ Чебышева 4-го порядка имеет порядок ниже ФНЧ Баттерворта (τ_d(w) обозначено какw(x)).

Рисунок 6 – Графики группового времени запаздывания

1 – нормы, 2 – для ФНЧ Чебышева, 3 – для ФНЧ Баттерворта

3.5 Далее следует построить нормированную АЧХ фильтра, удовлетворяющего всем требованиям и имеющего наименьший порядок (рисунок 7).

Рисунок 7 – АЧХ ФНЧ Чебышева

3.6 Выводы по расчету АФНЧ должны содержать ответы на следующие вопросы:

- из каких соображений определяется порядок фильтра;

- показать на АЧХ фильтра значение частот w_виw_n(нормированныеf_виf_д/2);

-почему необходимо обеспечить требуемое групповое время запаздывания для фильтра в полосе пропускания;

- особенности фильтра Баттерворта;

- особенности фильтра Чебышева;

- какой из 2-х типов фильтров выбран и почему?