Министерство Российской Федерации
по связи и информатизации
Сибирский государственный университет
телекоммуникаций и информатики
Кафедра физики
Методические указания
к лабораторной работе по теме
«Проверка основного закона динамики вращательного движения с помощью маятника Обербека»
Разработчик: ст. преподаватель Стрельцов А. И.
Новосибирск
2004
Лабораторная работа 1.2
Проверка основного закона динамики вращательного движения с помощью маятника Обербека
Цель работы
Изучить основной закон динамики вращательного движения.
Измерить момент инерции грузов на спицах маятника Обербека.
Основные теоретические сведения
Механическим движением твердого тела называется его перемещение относительно других тел с течением времени.
Вращательным движением твердого тела называется такой вид механического движения, при котором каждая точка тела описывает окружность вокруг некоторой прямой, называемой осью вращения. Таким образом, вращательное движение – это частный случай механического движения.
Основными физическими величинами, характеризующими вращательное движение, являются:
Угловое перемещение (угол поворота) – это угол между радиусами, проведенными из центра окружности, описываемой движущимся телом, в начальную и конечную точки его движения. Обозначается угол поворота буквой φ, измеряется в радианах.
Угловая скорость – величина, показывающая изменение угла поворота за единицу времени. Обозначается угловая скорость буквой ω, измеряется в радианах в секунду, основная формула
(1)
Направление угловой скорости определяется по правилу правого винта.
Угловое ускорение – величина, показывающая изменение угловой скорости за единицу времени. Обозначается угловое ускорение буквой β, измеряется в радианах на секунду в квадрате, основная формула
(2)
Если тело, вращаясь, разгоняется, то угловая скорость и угловое ускорение имеют одинаковые направления, если останавливается – противоположные направления.
Момент инерции – величина, отражающая инертные свойства тела (свойства сохранять свою скорость постоянной). Момент инерции обозначается буквой I и определяется как произведение массы тела на квадрат радиуса траектории, по которой оно вращается:
(3)
Размерность момента
инерции в системе СИ – килограмм-метр
в квадрате (
).
При вычислении моментов инерции тел относительно произвольных осей применяется теорема Штейнера: момент инерции тела относительно произвольной оси равен сумме момента инерции этого тела относительно оси, параллельной данной и проходящей через его центр масс и произведения массы тела на квадрат расстояния между осями:
(4)
Центр масс – это единственная точка тела, при приложении к которой внешней силы тело будет двигаться поступательно. При расчетах можно считать, что вся масса тела сосредоточена в этой точке. Доказательство теоремы Штейнера можно найти в учебной литературе.
Момент силы – величина, равная векторному произведению радиус-вектора, проведенного из центра окружности в данную точку траектории тела, на вектор силы, действующей на тело. Обозначается момент силы буквой M, измеряется в ньютон-метрах (
)
и определяется формулой
(5)
Направление вектора момента силы определяется по правилу векторного произведения или правого винта, что одно и то же. Порядок множителей в векторном произведении менять нельзя!
Момент импульса – величина, равная векторному произведению радиус-вектора, проведенного из центра окружности в данную точку траектории тела, на вектор импульса этого тела. Обозначается момент импульса буквой L, измеряется в килограмм-метрах в квадрате на секунду (
)
и определяется формулой
(6)
Направление вектора момента импульса определяется по правилу векторного произведения или правого винта, что одно и то же. Порядок множителей в векторном произведении менять нельзя!
Основной закон динамики вращательного движения устанавливает связь между угловым ускорением вращающегося тела, моментом приложенных к нему сил и его моментом инерции. Формулируется закон таким образом: угловое ускорение вращающегося тела пропорционально суммарному моменту всех сил, приложенных к нему, и обратно пропорционально моменту инерции этого тела. Математически это записывается так:
(7)
Основной закон динамики вращательного движения – это второй закон Ньютона, записанный с использованием величин, характеризующих этот вид механического движения. Его значение – возможность записи уравнений движения для любого вращающегося тела.
Перед выполнением лабораторной работы необходимо установить основные физические закономерности, наблюдаемые на маятнике Обербека.
Сила, вызывающая
движение подвеса массой
,
запишется как
(8)
или в скалярном виде
(9)
Тогда сила, вызывающая
вращение маятника, приложенная к ободу
шкива радиуса
,
будет равна
(10)
а момент силы
(11)
так как сила перпендикулярна радиус-вектору.
Момент инерции маятника Обербека определится из основного закона динамики вращательного движения (7)
(12)
Для проверки основного
закона динамики вращательного движения
необходимо определить моменты инерции
грузов на крестовине маятника Обербека,
закрепленных на различных расстояниях
от оси вращения. Согласно определению
(3), момент инерции прямо пропорционален
квадрату радиус-вектора, то есть, для
одного и того же тела массы
справедливы соотношения
(13)
Или
(14)
Тогда можно записать
(15)
для любых расстояний от оси вращения.
Линейное ускорение можно связать с угловым ускорением, используя законы кинематики
(16)
Тогда момент инерции маятника Обербека будет равен
(17)
Если подвес падает
из неподвижного состояния с высоты
,
то его ускорение определится из законов
равноускоренного движения
(18)
откуда ускорение
(19)
Окончательное выражение для вычисления момента инерции маятника Обербека (независимо от наличия грузов на его спицах) будет таким:
(20)
Таким образом, при обработке результатов эксперимента нам понадобятся формулы (15), (19) и (20). Следует отметить, что в данном рассмотрении мы пренебрегаем силами трения в осях вращающихся деталей установки.