Десятичные и натуральные логарифмы

Десятичные логарифмы (основание a = 10):	.
Натуральные логарифмы (основание a = e = 2,71828…):	.
Соотношения между десятичными и натуральными логарифмами:	; .

5. Уравнения

Уравнение – равенство, содержащее одну или несколько неизвестных.

Решение (корень) уравнения – значение неизвестной, при которой уравнение превращается в верное числовое равенство.

Линейное уравнение

Общий вид: . Корень (решение).

Квадратное уравнение

Общий вид: ;a  0.

Приведенное квадратное уравнение: .

Неполные квадратные уравнения:

; ;.

Дискриминант квадратного уравнения:

(в общем случае); (для приведенного уравнения).

Корни квадратного уравнения Табл. 18

Вид уравнения	Дискриминант	Корни
Общий вид	D > 0	Два различных корня ; .
	D = 0	Один двукратный корень .
	D < 0	Нет действительных корней.
Приведенное уравнение	D* > 0	Два различных корня , .
	D* = 0	Один двукратный корень .
	D* < 0	Нет действительных корней.

Корни неполных квадратных уравнений Табл. 19

Вид уравнения	Корни
ax2 + c = 0	При два корня:,. Прикорней нет.
ax2 + bx = 0	,
ax2 = 0

Разложение квадратного трехчлена на множители Табл. 20

Случай	Дискриминант	Формула
Общий случай
		, где
		не раскладывается
Приведенный случай
		, где
		не раскладывается

Теорема Виета

для полного квадратного уравнения:	x1 + x2 = , x1  x2 = ;
для приведенного квадратного уравнения:	x1 + x2 =  p, x1  x2 = q.

Биквадратное уравнение

Общий вид: , a  0.

Корни уравнения:

; , где- дискриминант

Приведенное кубическое уравнение

Общий вид:

Корни уравнения (формула Кардано):

, где - дискриминант

Система двух линейных уравнений с двумя неизвестными

Общий вид:

где x и y - неизвестные, a1, b1, a2, b2 – коэффициенты при неизвестных

Решение системы:

, , при a1b2  a2b1  0.

Иррациональные уравнения

Иррациональное уравнение – уравнение, содержащее неизвестное под знаком корня.

Уравнение с нечетным показателем корня:

равносильно уравнению:,.

Уравнение с четным показателем корня:

равносильно уравнению при условии.

Устранение иррациональности в знаменателе при решении уравнений и преобразовании выражений:

;

.

Показательные уравнения

Показательное уравнение – уравнение, содержащее неизвестное в показателе степени.

Уравнение (при )

равносильно уравнению .

Уравнение равносильно уравнению

при условии для любого числаа ().

Логарифмические уравнения

Логарифмическое уравнение – уравнение, содержащее неизвестное под знаком логарифма или в основании логарифма.

Уравнение (при)

равносильно уравнению при условии .

Уравнение

равносильно уравнению при условии