22. Теория функций комплèксной переменной
Комплẻксные числа и комплẻксная плоскость
Комплексное
число – выражение вида
,
где
a
и b
– действительные числа, i
– «мнимая единица»
.
Формы комплексного числа z Табл. 89
|
Наименование формы |
Формула |
Геометрическое представление |
|
1. Алгебраическая |
z=a+ib |
x |
|
2. Тригонометрическая |
z= r(cos +isin ) | |
|
3. Показательная |
z= rei |
|
Обозначения: |
i - мнимая единица a=Re z - действительная часть b=Im z - мнимая часть
|
Соотношения |
|
-
модуль,
-
аргумент,
<
;
;
;
Основные соотношения
|
Формулы Эйлера |
ei=
cos
+
isin
;
|
|
Формула Муавра |
(cos + isin )n = cos n + isin n |
|
Сфера Римана для комплексной плоскости (стереографическая проекция): точке Р на комплексной плоскости соответствует точка Р' на сфере; точке 0 на плоскости соответствует точка О (южный полюс); бесконечно удаленной точке плоскости соответствует точка N (северный полюс). |
|
Области в комплексной плоскости
|
|
|
|
|
Рис. 58
Операции над комплексными числами Табл. 90
|
Наименование операции |
Формулы |
|
Сложение и вычитание в алгебраической форме |
z1 z2=a1 a2+i (b1 b2) |
|
Сложение и вычитание сопряженных чисел |
z
+
|
|
Умножение в алгебраической форме |
|
|
Умножение сопряженных чисел |
z
|
|
Деление в алгебраической форме |
|
|
Умножение в показательной форме |
|
|
Умножение в тригонометрической форме |
|
|
Деление в показательной форме |
|
|
Деление в тригонометрической форме |
|
|
Возведение в целую степень в показательной и тригонометрической формах |
zn= rnein zn= rn(cos n+isin n) |
|
Корни целой степени n |
|
=
2a;
z
=
2ib;
=
,
где
Обозначения:
|
комплексные числа: |
z1=a1+ib1 |
|
сопряженные комплексные числа: |
z=a
+
ib=
|
;
z2=a2+ib2
;
и
=a
–ib=
Основные элементарные функции комплексной переменной
Обозначения:
;
,
Табл. 91
|
Функции |
Формулы |
Особенности |
|
Показательная |
|
Период 2πi |
|
Логарифмическая |
|
Бесконечнозначность Однозначность |
|
Степенная |
|
Однозначность n-значность |
|
Общая степенная |
|
Бесконечнозначность |
|
Тригоно- метрические |
|
Период 2π
Период 2π
Период π
Период π |
|
Обратные тригоно- метрические |
|
Бесконечнозначность Бесконечнозначность Двузначность Двузначность Бесконечнозначность Бесконечнозначность
|
,
n
= 1, 2, 3, …
Гиперболические функции комплексной переменной Табл. 92
|
Функции |
Формулы |
Особенности |
|
Гиперболические |
|
Период 2πi
Период 2πi
Период πi
Период πi |
|
Обратные гиперболические |
|
Бесконечнозначность Бесконечнозначность Бесконечнозначность Бесконечнозначность |
Соотношения между тригонометрическими и гиперболическими функциями:
|
|
|
|
|
;
;
;
.