Линейные дифференциальные уравнения второго порядка Табл. 80

	Наименование	Общий вид	Общее решение
1	Линейное однородное уравнение второго порядка
2	Линейное неоднородное уравнение второго порядка	f(x)0

Обозначения: ─ общее решение однородного уравнения,

и- линейно независимые частные решения однородного уравнения,

- какое-либо частное решение неоднородного уравнения

Определитель Вронского для линейно независимых решений и:

Решение линейных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами

Характеристическое уравнение: ,- его корни.

Общее решение линейного однородного уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами (без правой части)

Табл. 81

Корни характеристического уравнения	Общее решение
1. 1  2 - действительные числа
2. 1 = 2 =  - действительное число
3. - комплексные числа

Отыскание частного решения линейного неоднородного уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами с правой частью специального вида

Табл. 82

Вид правой части	Корни	Вид частного решения
Показательная функция	;
	;
Многочлен степени m	;
	;
	;
Линейная комбинация тригонометрических функций
Произведение многочлена и показательной функции	;
	;
Общий случай: произведение многочленов, тригонометрических функций и показательной функции

Примечание: коэффициенты А, В, С, а также коэффициенты многочленов R (x) и S (x) находятся методом неопределенных коэффициентов.

19. Операционное исчисление

Определение и обозначения

Функция -оригинал, если она удовлетворяет условиям:

1) при;

2) - кусочно-непрерывна при(имеет конечное число

точек разрыва I рода на каждом конечном интервале);

3) возрастает не быстрее некоторой показательной функции,

т.е. .

Преобразование Лапласа оригинала :

, F(p) – изображение для .

Обозначения: f(t) F(p) или .

Основные свойства преобразования Лапласа

Обозначения: f(t) F(p), f₁(t) F₁(p), f₂(t) F₂(p) Табл. 83

Наименование	Оригинал f(t)	Изображение F(p)
1. Линейность
2. Теорема подобия
3. Теорема запаздывания (сдвига)
4. Теорема затухания (смещения)
5. Дифференцирование оригинала
6. Интегрирование оригинала
7. Дифференцирование изображения
8. Интегрирование изображения
9. Теорема свертывания

Таблица основных оригиналов и изображений Табл. 84

№ п/п	Оригинал f(t)	Изображение F(p)
1	1
2
3
4
5	t
6	tn, n=1,2,3,…
7
8
9
10
11

№ п/п	Оригинал f(t)	Изображение F(p)
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22