15. Дифференциальное исчисление Определение производной

Пусть определена и непрерывна в окрестностиx₀

Производная функции в точке x₀ и ее обозначения:

Основные правила дифференцированияТабл. 51

Выражение	Производная
Сумма функций
Постоянный множитель
Произведение двух функций
Произведение трёх функций
Частное двух функций
Сложная функция
Обратная функция
Параметрическое задание функции
Логарифмическое дифференцирование

Дифференциал функции dy – линейная часть приращения функции Δ y:

.

Производные основных функций

u=u(x) - дифференцируемая функция Табл. 52

Наименование функции	Производная		Производные основных элементарных функций
1. Постоянная			1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14.
2. Степенная функция	a
3. Показательная функция	' a > 0, a 1
4. Логарифмическая функция	a>0, a1
5. Тригонометри-ческие функции
6. Обратные тригонометри-ческие функции

Гиперболические функции Табл. 53

Наименование	Формула	Производная
Гиперболический синус
Гиперболический косинус
Гиперболический тангенс
Гиперболический котангенс

Обратные гиперболические функции Табл. 54

Наименование	Формула	Производная
Ареасинус
Ареакосинус
Ареатангенс
Ареакотангенс

Графики гиперболических функций:

0

y

x

1

y

x

0

-1

1

cth x

th x

cth x

Рис. 56

Производные высших порядков и формула Тейлора

Производная второго порядка функции y=f(x) : .

Второй дифференциал функции y=f(x): .

Производная n-го порядка (n-ая производная ) функции y=f(x):

Формула Тейлора

где

- остаточный член в форме Лагранжа.

Формула Маклорена (a=0):

Разложение некоторых функций по формуле Тейлора Табл. 55

Функция	Разложение
ex
sin x
cos x
ln (1+x)
(1+x)m

Обозначение: - остаточный член в формуле Тейлора

Исследование функций

Монотонность функции Табл. 56

Поведение функции в окрестности точки х	Обозначение	Признак
Возрастание
Убывание

Экстремумы функции

Необходимый признак экстремума функции в точке:

или не существует, т.е.- критическая точка.Табл. 57

Экстремум функции в критической точке	1-й достаточный признак	2-й достаточный признак
- точка минимума	в точке меняет знак с “ – “ на “ + “
- точка максимума	в точке меняет знак с “ + “ на “ – “

Выпуклость и вогнутость графика функции Табл. 58

Поведение графика функции в окрестности точки	Обозначение	Признак
Выпуклость (выпуклость вверх)	у
Вогнутость (выпуклость вниз)	у

Асимптоты графика функции Табл. 59

Наименование	Уравнение	Параметры
Вертикальная		- точка разрыва II рода:
Наклонная		;
Горизонтальная		;

Уравнения касательной и нормали к графику функции y = f (x)

Уравнение касательной к графику функции в точке Mo(xo, yo):
Уравнения нормали к графику функции в точке Mo(xo, yo):

Обозначение: (X, Y) - координаты текущей точки прямой.

План полного исследования функции:

1. Элементарное исследование:

- найти область определения и область значений;

- выяснить общие свойства: четность(нечетность), периодичность;

- найти точки пересечения с осями координат;

- определить участки знакопостоянства.

2. Исследование с помощью предела:

- найти точки разрыва и выяснить их характер;

- найти область непрерывности;

- найти вертикальные и наклонные асимптоты.

3. Исследование с помощью :

- найти критические точки;

- определить интервалы возрастания и убывания функции;

- определить экстремумы.

4. Исследование с помощью :

- найти точки, в которых или не существует;

- найти участки выпуклости и вогнутости;

- определить точки перегиба.

5. Построение графика функции.

Рекомендации по применению плана исследования функции:

1. Отдельные элементы исследования наносятся на график по мере их нахождения.

2. Если появляются затруднения с построением графика функции, то находятся значения функции в некоторых дополнительных точках.

3. Целью исследования является описание характера поведения функции. Поэтому строится не точный график, а его приближение, на котором четко обозначены найденные элементы (экстремумы, точки перегиба, асимптоты и т.д.).

4. Строго придерживаться приведенного плана необязательно; важно не упустить характерные элементы поведения функции.

Дифференцирование функции двух переменных

Понятие частной производной

Частная производная функции в точке по переменнойx:
Частная производная функции в точке по переменнойy:

Полный дифференциал функции :.

Производные сложных и неявных функций двух переменных Табл. 60

Название		Вид функции	Формула
Производная сложной функции	Полная производная
	Частные производные		;
Производная неявной функции	двух переменных		;
	одной переменной

Уравнения касательной плоскости к поверхности в точке

Табл. 61

Уравнение поверхности	Уравнение касательной плоскости

(X, Y, Z) - координаты текущей точки касательной плоскости.

Уравнения нормали к поверхности в точке Табл. 62

Уравнение поверхности	Уравнение нормали

(X, Y, Z) - координаты текущей точки нормали.

Достаточный признак экстремума функции z=f(x, y)

в стационарной точке M_o:

Табл. 63

Признак	Случай
 > 0	- точка экстремума
	точка максимума
	точка минимума
 < 0	экстремума нет
 = 0	неопределенный случай