Прямые линии и плоскости

№

Уравнение

Наименование

Параметры

1

общее уравнение

прямой на плоскости

- нормальный вектор прямой;

,,- координаты данных

точек на прямой;

k - угловой коэффициент прямой;

a - отрезок, отсекаемый прямой на оси х;

b - отрезок, отсекаемый прямой на оси y;

- направляющий вектор прямой;

- направляющие косинусы вектора q

t - параметр

2

уравнение прямой,

проходящей через

данную точку

3

уравнение прямой с данным угловым

коэффициентом

4

уравнение прямой, проходящей через данную точку с данным угловым коэффициентом

5

уравнение прямой,

проходящей через

две точки

6

уравнение прямой

в отрезках

7

каноническое уравнение прямой

8

нормальное уравнение прямой

9

параметрические

уравнения

Название

Формулы

Обозначения

Угол между прямыми

; ;

, - нормальные векторы

прямых;

, - направляющие векторы

прямых;

- угловые коэффициенты прямых

Условие

параллельности

;

;

Условие

перпендикулярности

n₁  n₂  n₁n₂ = 0 или A₁A₂ + B₁B₂ = 0;

q₁  q₂  q₁q₂ = 0 или l₁l₂ + m₁m₂ = 0;

№

Уравнение

Наименование

Параметры

1

общее уравнение плоскости в пространстве

- нормальный вектор плоскости;

- координаты фиксированных точек на плоскости;

a,b,c – отрезки, отсекаемые плоскостью на осях координат;

- направляющие косинусы нормального вектора плоскости;

p - длина перпендикуляра, опущенного из начала координат на плоскость

2

уравнение плоскости, проходящей через

три точки

3

уравнение плоскости

в отрезках

4

нормальное уравнение плоскости

Название

Формулы

Обозначения

Угол между плоскостями

и - нормальные векторы

плоскостей

Условие

параллельности

Условие

перпендикулярности

n₁  n₂  n₁n₂ = 0 или

№

Уравнение

Наименование

Параметры

1

общие уравнения прямой

в пространстве

и - нормальные векторы плоскостей;

- направляющий вектор прямой;

, ,

- координаты фиксированных точек на прямой

2

канонические

уравнения прямой

в пространстве

3

параметрические уравнения прямой

в пространстве

4

уравнения прямой, проходящей через две фиксированные точки

Название

Формулы

Обозначения

Угол между

двумя прямыми

cos=

q₁ = (l₁, m₁, n₁) и

q₂ = (l₂, m₂, n₂) - направляющие векторы

прямых

Условие

параллельности

q₁ || q₂

Условие

ортогональности

q₁  q₂  q₁q₂ = 0 или l₁l₂ + m₁m₂ + n₁n₂ = 0

Название

Формулы

Обозначения

Угол между прямой и

плоскостью

q = (l, m, n)

- направляющий вектор прямой;

(x_o, y_o, z_o)

- точка

на прямой;

n = (A, B, C)

- нормальный

вектор плоскости

Условие

параллельности

n  q  nq = 0 или Al + Bm + Cn = 0

а) прямая не лежит в плоскости

Ax_o+ By_o+ Cz_o  0

б) прямая лежит в плоскости

Ax_o+ By_o+ Cz_o = 0

Условие пересечения прямой и плоскости

nq  0 или Al + Bm + Cn  0

Условие перпендикулярности прямой и плоскости

n || q 

Каноническое уравнение: .

Радиус окружности: a.

Рис. 52

Параметрические уравнения:

Уравнение в полярных координатах:

Уравнение окружности радиуса с центром

в точке с координатами :

Каноническое уравнение:

.

Полуоси эллипса: .

Фокусное расстояние: c. Фокусы: и, где. Эксцентриситет:, .

Уравнения директрис: .

Рис. 53

Параметрическое уравнение:

.

Уравнение в полярных координатах:

.

Каноническое уравнение:

,

Параметр: p.

Фокус: ;

Уравнение директрисы: .

Рис. 54

Уравнение в полярных координатах:

.

Каноническое уравнение:

.

Действительная полуось: a,

мнимая полуось: b.

Фокусное расстояние: с.

Фокусы: и, где.

Уравнения асимптот: .

Эксцентриситет: ,.

Уравнения директрис: .

Рис. 55

Параметрические уравнения:

Уравнение в полярных координатах: .

Знак

Тип линии

Знак

Линия

эллиптический

эллипс

точка

мнимый эллипс

гиперболический

гипербола

пара пересекающихся прямых

параболический

парабола

пара действительных либо мнимых параллельных прямых

Каноническое

уравнение

Наименование

Параметры

Чертеж

сфера

a – радиус

эллипсоид

- полуоси

однополостный гиперболоид

-действитель-ные полуоси,

- мнимая полуось

двуполостный гиперболоид

-действитель-ная полуось, - мнимые полуоси

эллиптический параболоид

- полуоси

гиперболический параболоид

- полуоси

конус

- полуоси

параболический цилиндр

р - параметр

эллиптический цилиндр

- полуоси

гиперболический цилиндр

- полуоси