ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

Комбинаторика. Классическое определение вероятности

Комбинаторика

1. Сколько трехзначных четных чисел можно составить из цифр 0,1,2,3,4,5, если цифры могут повторяться. Ответ: 90

2. Из 2-х математиков и десяти экономистов надо составить комиссию в составе восьми человек. Сколькими способами может быть составлена комиссия, если в нее должен входить хотя бы один математик? Ответ: 450

3. В автомашине 5 мест. Сколькими способами 5 человек можно рассадить в ней, если место водителя могут занять только трое из них?

Ответ: 72

3. Сколькими способами из колоды в 36 карт можно вынуть 6 карт, содержащих а) одного туза и одного короля одной масти; б) одного туза и одного короля разных мастей? Ответ: а) 81900; б) 245700

5. Сколькими способами 5 книг разных авторов можно расставить на полке в один ряд? Ответ: 120

Классическое определение вероятности

6. Десять томов сочинений Пушкина расположены в случайном порядке на двух полках по пять томов. Нужны третий и седьмой тома. Найти вероятность того, что оба они окажутся на верхней полке. Ответ:

7. Имеется 10 шаров, среди них 6 белых и 4 черных. Из них берутся два шара. Найти вероятность того, что они одного цвета? Ответ:

8. Восемь спортсменов случайным образом разделяются на две команды по 4 человека. Среди спортсменов имеется два брата. Найти вероятность того, что братья окажутся в одной команде. Ответ:

9. Шесть человек рассаживаются на скамейке случайным образом. Среди них есть два брата. Найти вероятность того, что братья займут а) соседние места (рядом); б) крайние места. Ответ: а) ; б) .

10. Среди 16 деталей четыре нестандартные. Какова вероятность, что из четырех наугад взятых деталей две нестандартные? Ответ:

11. Студент знает 25 из 40 вопросов программы. Найти вероятность того, что студент знает два вопроса, содержащиеся в его билете. Ответ:

12. Монету бросают четыре раза. Найти вероятность того, что все четыре раза она упадет одной и той же стороной. Ответ:

Геометрическая вероятность

13. В круг радиуса R вписан правильный треугольник. Найти вероятность того, что точка, брошенная в этот круг попадет в данный треугольник.

Ответ:

14. Поезда метро следуют с пятиминутными интервалами. На станцию пришел поезд в данном направлении. Найти вероятность того, что не более, чем через две минуты на эту станцию придет поезд в противоположном направлении. Ответ: 0,32

15. Внутри круга случайным образом выбирается точка. Найти вероятность того, что расстояние от нее до центра круга больше половины радиуса круга. Ответ: 0,75

Основные теоремы теории вероятностей

Теоремы сложения и умножения вероятностей

1. Два стрелка стреляют по мишени. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле для первого стрелка равна 0,7 , а для второго – 0,8. Найти вероятность того, что при первом залпе в мишень попадет только один стрелок. Ответ: 0,38

1. Вероятность попадания в мишень стрелком при первом выстреле равна 0,7, при втором – 0,8 , при третьем выстреле – 0,9. Стрелок произвел три выстрела. Найти вероятность того, что он ни разу не промахнулся.

Ответ: 0,504

2. Вероятность соединения при телефонном вызове 0,8. Какова вероятность, что соединение произойдет только при третьем вызове?

Ответ: 0,032

3. Электрическая цепь собрана по схеме, приведенной на чертеже.

Отказы элементов схемы за некоторое фиксированное время происходят независимо с вероятностью 0,2. Найти вероятность разрыва цепи за указанное время. Ответ: 0,098

Вероятность появления хотя бы одного события

5. Имеется 12 телефонных аппаратов, среди которых 3 бракованных. Какова вероятность, что среди двух взятых аппаратов хотя бы один небракованный? Ответ:

6. По каналу связи передается кодовая комбинация из трёх символов. Вероятность искажения при приеме одного символа равна 0,1. Найти вероятность того, что хотя бы один символ будет искажен. Ответ: 0,271

Формула полной вероятности. Формулы Байеса

7. Для передачи сообщения используются сигналы “ 0 ’’ и “ 1 ’’, среди них сигналы “ 0 ’’ составляют 60%. Вероятность искажения сигнала “ 0 ’’ равна 0,001; сигнала “ 1 ’’- 0,002. Найти вероятность искажения наугад взятого сигнала. Ответ: 0,0014

8. Имеется пять одинаковых приборов. Из них два новых, остальные бывшие в употреблении. Вероятность отказа нового прибора 0,05, вероятность отказа прибора бывшего в употреблении – 0,3. Найти вероятность отказа случайно взятого прибора. Ответ: 0,20

9. В условиях предыдущей задачи известно, что случайно взятый прибор отказал. Найти вероятность того, что отказал новый прибор. Ответ: 0,1

10. Специалистов некоторой специальности выпускают три вуза. Первый вуз обеспечивает 20% требуемого количества выпускников, второй – 30%, остальных – третий вуз. 30% выпускников первого вуза являются первоклассными специалистами. Среди выпускников второго вуза их доля составляет 10%, а для третьего – 5%. Случайно выбранный выпускник оказался первоклассным специалистом. Какова вероятность, что он из первого вуза? Ответ: 0,522

Схема Бернулли. Формула Пуассона. Предельные теоремы в схеме Бернулли

Схема Бернулли

1. Вероятность попадания в цель 0,7. Сделано 5 выстрелов. Какова вероятность того, что оказалось: а) 3 попадания; б) 2 или 3 промаха?

Ответ: а) 0,309; б) 0,441

2. Монету бросают пять раз. Найти вероятность того, что ‘‘герб’’ выпадет: а) ровно два раза; б) менее 2-х раз; в) не менее 2-х раз.

Ответ: а) 0,312; б) 0,188; в) 0,812

Формула Пуассона

3. Вероятность ошибки при обращении к навигационной системе равна 0,005. Найти вероятность, что из 500 обращений: а) одно будет ошибочное; б) не менее 2-х будут ошибочными; в) все будут правильные.

Ответ: а) 0,205; б) 0,713; в) 0,82

4. На центральный узел МЧС поступает в среднем 120 вызовов в час. Найти вероятность того, что за данную минуту поступит не более 1 вызова.

Ответ: 0,406

Предельные теоремы в схеме Бернулли

5. Вероятность поражения мишени при одном выстреле равна 0,8. Найти вероятность того, что при 100 выстрелах мишень будет поражена а) ровно 80 раз; б) от 75 до 80 раз; в) не менее 90 раз. Ответ: а) 0,100; б) 0,394; в) 0,006

6. Вероятность рождения мальчика равна 0,51. Найти вероятность того, что среди 100 новорожденных окажется 50 мальчиков. Ответ: 0,078

7. Известно, что в ателье 70% выпускаемых пальто высшего сорта. Найти вероятность того, что среди случайно отобранных 210 пальто доля высшего сорта будет отличаться от вероятности не более, чем на 0,02. Ответ: 0,472

Дискретные и непрерывные случайные величины

1. Дан ряд распределения дискретной случайной величины

Xk	0	1	2	3	4
Pk	0,3	0,2	0,1	0,3	0,1

Найти математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение. Построить многоугольник распределения.

Ответ: ; ;

2. Найти дисперсию дискретной случайной величины Х – числа появлений события А в пяти независимых испытаниях, если вероятность появления события А в каждом испытании равна 0,3. Ответ: 1,05

3. Измерительный комплекс состоит из 3-х одинаковых приборов, отказы которых происходят независимо друг от друга. Вероятность отказа прибора в течении суток 0,2. Рассматривается случайная величина – число отказавших приборов. Построить ее ряд распределения. Найти функцию распределения и построить ее график. Вычислить математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение.

Ответ:	xi	0	1	2	3	;
	pi	0.512	0.384	0.096	0.008

4. Случайная величина Х задана функцией распределения F(x). Найти плотность распределения вероятностей, математическое ожидание и дисперсию случайной величины.

Ответ: ;

5. Плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины выражается формулой

Найти: 1) неизвестный параметр с; 2) функцию распределения F(x) случайной величины; 3) построить графики функций ; 4) вычислить .

Ответ: ; ; ; .

6. Случайная величина задана функцией распределения

Требуется: а) найти плотность ; б) найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины; в) построить графики функций ; г) найти вероятность того, что случайная величина Х примет значение, принадлежащие интервалу (0;2).

Ответ: ; ; ;

7. Известны математическое ожидание а = 5 и среднее квадратическое отклонение нормально распределенной случайной величины Х. Найти вероятность попадания этой величины в интервал .

Ответ: 0,614