Дискретная математика / ЛИТЕРАТУРА / ДМ Практикум
.pdf
а) 11111;
б) 01111;
в) 11100;
г) 10011.
Рисунок 9.8
9.20 К.д.а. задан таблицей переходов-выходов:
S\X |
0 |
1 |
2 |
|
|
|
|
1 |
2/1 |
5/0 |
5/1 |
|
|
|
|
2 |
1/1 |
2/0 |
5/1 |
|
|
|
|
3 |
3/0 |
7/1 |
3/0 |
|
|
|
|
4 |
4/0 |
2/1 |
5/0 |
|
|
|
|
5 |
2/1 |
1/0 |
2/1 |
|
|
|
|
6 |
2/1 |
4/1 |
6/0 |
|
|
|
|
7 |
7/0 |
3/1 |
7/0 |
|
|
|
|
Состоянию 4 эквивалентны состояния…
а) 3 и 7;
б) только 3;
в) только 7;
г) в к.д.а. нет состояний, эквивалентных состоянию 4.
91
Глава X. Элементы комбинаторики
Во многих практических случаях возникает необходимость подсчитать количество возможных комбинаций объектов, удовлетворяющих определен- ным условиям. Такие задачи называют комбинаторными.
Многие из комбинаторных задач могут быть решены с помощью правил умножения и сложения.
Правило умножения: если из некоторого конечного множества первый объект (элемент A ) можно выбрать n1 способами и после каждого такого выбо- ра второй объект (элемент B ) можно выбрать n2 способами, то оба объекта ( A и B ) в указанном порядке можно выбрать n1 × n2 способами.
Правило сложения: если некоторый объект A можно выбрать n1 спосо- бами, а объект B можно выбрать n2 способами, причем первые и вторые спо- собы не пересекаются, то любой из указанных объектов ( A или B ) можно вы- брать n1 + n2 способами.
Пример 10.0. Сколькими способами можно выбрать: а) одну гласную и одну согласную букву из слова «интеграл»; б) две гласных или две согласных буквы из слова «интеграл»?
а) В слове «интеграл» 3 гласных и 5 согласных, следовательно, одну гласную и одну согласную буквы можно выбрать 3 ×5 =15 способами.
б) По правилу умножения две гласные буквы можно выбрать 3 × 2 = 6 , а две согласные - 5 × 4 = 20 способами. По правилу сложения две гласные или две
согласные можно выбрать 6 + 20 = 26 способами. |
|
Существуют две схемы выбора k элементов из исходного множества n |
|
элементов ( 0 < k £ n ): без возвращения (без повторений) |
и с возвращением (с |
повторением). В первом случае выбранные элементы не возвращаются обратно; можно отобрать сразу все k элементов или последовательно отбирать их по одному. Во втором случае выбранный элемент обязательно возвращается в ис- ходное множество на каждом шаге.
Схема выбора без возвращений
Пусть дано множество, состоящее из n различных элементов. Размещением из n элементов по k элементов ( 0 < k £ n ) называется лю-
бое упорядоченное подмножество данного множества, состоящее из k элемен- тов. Размещениями являются комбинации k элементов, взятых из данных n элементов, отличающиеся либо составом элементов, либо порядком их распо- ложения.
Число размещений из n |
элементов по k |
элементов обозначается A k |
и |
||
|
|
|
|
n |
|
вычисляется по формуле |
|
|
|
|
|
A k |
= n(n -1)(n - 2) ×...× (n - k +1) |
|
|||
n |
|
|
|
|
|
или |
|
|
|
|
|
A k = |
n! |
A 0 =1. |
|
||
|
, |
|
|||
|
|
||||
|
n |
(n - k )! |
n |
|
|
|
|
|
|
||
92
Пример 10.1. Сколько различных размещений по 2 элемента можно со- ставить из элементов множества M = {x, y, z}?
Из трех элементов множества M можно составить следующие различные размещения по 2 элемента: (x, y) , (x, z) , ( y, x) , ( y, z) , (z, x) , (z, y) . Их число
A 2 |
= 3 × 2 = 6 . |
|
3 |
|
|
Перестановкой из n элементов называется размещение из n элементов по n элементов. Перестановками являются комбинации данных n элементов, отличающиеся друг от друга только порядком расположения элементов.
Число перестановок из n элементов обозначается Pn и вычисляется по формуле
Pn = n!.
Пример 10.2. Сколько различных перестановок можно составить из эле- ментов множества M = {x, y, z}?
Из элементов множества M можно составить следующие перестановки
элементов: (x, y, z) , (x, z, y) , ( y, x, z) , ( y, z, x) , |
(z, x, y) , (z, y, x) . Их число |
P3 = 3! =1× 2 ×3 = 6 . |
|
Сочетанием из n элементов по k элементов ( 0 < k ≤ n ) называется любое подмножество данного множества, состоящее из k элементов. Сочетаниями яв- ляются комбинации k элементов, взятых из данных n элементов, отличающие- ся составом элементов.
Число сочетаний из n элементов по k элементов обозначается C k |
и вы- |
||||||
|
|
|
|
|
|
n |
|
числяется по формуле: |
|
|
|
|
|
|
|
|
Cn k = |
n(n -1)(n - 2) ×...× (n - k +1) |
|
|
|||
|
|
|
|
||||
|
|
|
1× 2 ×3 ×...× k |
|
|
|
|
|
Cn k = |
n! |
=1. |
|
|
||
или |
|
, Cn0 |
|
|
|||
|
|
|
|||||
|
|
|
k !(n - k )! |
|
|
|
|
Пример 10.3. Сколько различных сочетаний по 2 элемента можно соста- вить из элементов множества M = {x, y, z}?
Из трех элементов множества M можно составить следующие различные
сочетания по 2 элемента: (x, y) , (x, z) , ( y, z) . Их число C 2 |
= |
3! |
|
= |
3 × 2 |
= 3. |
|
|
|
||||
3 |
2!×1! |
2 |
|
|||
|
|
|||||
Число Cn k обладает следующими свойствами:
1)Cn k = Cn n−k ;
2) |
C k + C k +1 |
= C k +1 ; |
|
|
n |
n |
n+1 |
|
|
|
n |
3) |
(a + b)n = ∑Cnk ak bn−k для любых a,b , n (бином Ньютона). |
||
k =0
93
|
Пример 10.4. Записать комплексное число (2 + i)4 |
в алгебраической фор- |
ме. |
|
|
|
Используя свойство 3) получим: |
|
|
4 |
|
|
(2 + i)4 = (i + 2)4 = ∑C4k ik 2n−k = C40i0 24 + C41i1 23 + C42i2 22 + C43i3 21 + C44i4 20 = |
|
|
k =0 |
|
|
= 16 + 32i − 24 − 8i + 1 = −7 + 24i . |
|
Схема выбора с возвращением
Если при выборке k элементов из n элементы возвращаются обратно и упорядочиваются, то получившиеся комбинации элементов называются разме- щениями с повторениями. Размещениями с повторениями являются комбина- ции k элементов, взятых из данных n элементов, отличающиеся либо составом элементов, либо порядком их расположения, либо количеством повторений элементов.
Число размещений с повторениями из n элементов по k элементов обо-
k
значается An и вычисляется по формуле:
Akn = nk .
Пример 10.5. Сколько различных размещений по 2 элемента с повторе- ниями можно составить из элементов множества M = {x, y, z}?
Из трех элементов множества M можно составить следующие различные
размещения по 2 элемента с повторениями: (x, x) , (x, y) , (x, z) , ( y, x) , ( y, y) ,
( y, z) , (z, x) , (z, y) , (z, z) . Их число A32 = 32 = 9 .
Если при выборке k элементов из n элементы возвращаются об- ратно без последующего упорядочивания, то получившиеся комбинации эле-
ментов называются сочетаниями с повторениями.
Число сочетаний с повторениями из n элементов по k элементов
k
обозначается C n и вычисляется по формуле:
C kn = C k+ − . n k 1
Пример 10.6. Сколько различных сочетаний по 2 элемента с повторения- ми можно составить из элементов множества M = {x, y, z}?
Из трех элементов множества M можно составить следующие различные
сочетания по 2 элемента с повторениями: (x, x) , (x, y) , (x, z) , ( y, y) , ( y, z) ,
(z, z) . Их число |
|
32 = C 2 |
= |
|
4! |
= 6 . |
|
|
C |
|
|||||||
|
|
|||||||
4 |
2!2! |
|
||||||
|
|
|
|
|||||
Пусть в множестве с n элементами есть k различных элементов, 1-й эле- |
||||||||
мент повторяется n1 раз, |
2-й - n2 раз, …, |
k -й элемент - nk раз, причем |
||||||
n1 + n2 + ... + nk = n . |
|
|
|
|
|
|||
Перестановки из n элементов данного множества называются пере-
становками с повторениями из n элементов.
Число перестановок с повторениями из n элементов обозначается Pn (n1, n2 ,..., nk ) и вычисляется по формуле
94
|
Pn (n1, n2 ,..., nk ) = |
n! |
|
|
|
. |
|
|
|
||
|
|
n1 !n2 !...nk ! |
|
|
Пример 10.7. Сколько различных перестановок можно составить из букв |
||
слова «водопад»? |
|
|
|
|
В слове «водопад» 7 букв, из них одна буква «в», две буквы «о», две бук- |
||
вы «д», одна – « а» и одна «п», следовательно, число различных перестановок
этих букв равно P7 (1, 2, 2,1,1) = |
|
|
|
7! |
|
=1260 . |
|
|
|||||||
1!× 2!× 2!×1!×1! |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
Формула включений и исключений |
|
|
||||||||||||
Пусть имеются N предметов, каждый из которых обладает, либо не об- |
|||||||||||||||
ладает свойством P , |
P ,…, |
|
P . |
Обозначим через N (P , P ,..., P ) |
количество |
||||||||||
1 |
2 |
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
1 2 |
k |
|
предметов, обладающих свойствами |
P , |
P ,…, |
P (и, быть может, |
некоторыми |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
k |
|
|
другими). Тогда число N ( |
P |
, |
P |
,..., |
P |
) |
предметов, не обладающих ни одним из |
||||||||
|
1 |
|
|
2 |
|
|
n |
|
|
|
|
|
|||
указанных свойств, определяется по следующей формуле:
N ( |
P |
, |
P |
,..., |
P |
) = N - N (P ) - N (P ) - ... - N (P ) + N (P , P ) + N (P , P ) + ... |
|||||||
1 2 |
|
n |
1 |
2 |
n |
1 2 |
1 3 |
|
|||||
+N(P, P ) +... + N(P |
, P ) - N(P, P , P ) -... - N (P |
, P |
, P ) + ... + (-1)n N(P, P ,..., P ) . |
||||||||||
1 n |
n−1 |
|
n |
1 2 3 |
n−2 |
n−1 |
n |
1 2 |
n |
||||
|
Пример 10.8. Сколько положительных чисел от 1 до 100 не делится ни на |
||||||||||||||
одно из чисел 2, 3, или 5? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Обозначим через P свойство числа делиться на 2, через P свойство де- |
||||||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
лимости на 3, через P3 свойство делимости на 5. |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
Чтобы найти, сколько чисел от 1 до N делится на n надо разделить N на |
||||||||||||||
n и взять целую часть получившегося частного, следовательно, |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
N (P ) = 50 , N (P ) = 33 , N (P ) = 20 , |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
3 |
|
|
|
||
|
N (P , P ) = 16 , N (P , P ) = 10 , N (P , P ) = 6 , N (P , P , P ) = 3 . |
|
|||||||||||||
|
1 |
2 |
|
|
1 |
3 |
2 |
3 |
1 |
2 |
3 |
|
|||
По формуле включений и исключений получим: |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
N ( |
|
, |
|
, |
|
) =100 - 50 - 33 - 20 +16 +10 + 6 - 3 = 26 . |
|
|||||||
|
P |
P |
P |
|
|||||||||||
|
|
1 |
2 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
А) Контрольные вопросы
10.1 Вычислите:
а) A 3 |
; |
б) P ; |
в) C 3 |
; |
|
|
3 |
; |
|
|
3 |
; |
е) P (2, 2,1) . |
|
|
||||||||||||
г) A5 |
д) C5 |
||||||||||||
5 |
|
5 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
10.2Докажите формулы:
а) Cn k = Cn n−k ;
б) |
C k + C k +1 |
= C k +1 ; |
|
|
n |
n |
n+1 |
|
n |
|
|
в) |
∑Cn k = 2n . |
||
k =0
95
Б) Задачи и упражнения
10.3Из города А в город В ведут 3 дороги, а из города В в город С ведут 5 до- рог. Сколькими способами можно попасть из города А в город С через город В?
10.4Группа студентов изучает 8 дисциплин. Сколькими способами можно со- ставить расписание занятий в среду, если в этот день должно быть 3 раз- личных занятия; не более 3 различных занятий?
10.5Сколькими способами можно составить трехцветный полосатый флаг, ес- ли имеется материал 5 различных цветов? Тот же вопрос, при условии, что одна полоса обязательно должна быть белой?
10.6Из состава конференции, на которой присутствует 32 человека, нужно избрать делегацию, в составе 3 человек. Сколькими способами можно это сделать?
10.7На собрании присутствует 25 человек. Им нужно избрать председателя собрания, заместителя председателя и секретаря. Сколькими способами можно это сделать?
10.8Сколько различных семизначных чисел можно записать, используя циф-
ры 3, 5, 7?
10.9Сколько различных перестановок образуется из следующих слов:
а) океан; б) озеро; в) оборона; г) барабан?
10.10У бабушки 2 яблока, 2 банана и 3 апельсина. Каждый день в течение не- дели она выдает внуку по одному фрукту. Сколькими способами она мо- жет это сделать?
10.11В группе обучаются 25 студентов. После сдачи экзаменационной сессии 4 студента имеют задолженность только по математическому анализу, 4 – только по физике и 3 – только по дискретной математике. И математиче- ский анализ и физику нужно пересдавать 3 студентам, математический анализ и дискретную математику – 2 студентам, физику и дискретную математику – 2 студентам. Один студент в группе имеет долг по всем этим предметам. Скольким студентам пересдачи по этим предметам не потребовались?
В) Тестовые задания (укажите единственный верный ответ)
10.12 Значение выражения |
A3 |
+ A5 |
равно… |
||||
10 |
10 |
||||||
|
A7 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10 |
|
а) |
|
31 |
; |
|
|
|
|
10 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
||
б) |
|
1 |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
20
в) 43 ; 840
г) 882.
96
10.13 Значение выражения |
C3 |
×C5 |
равно… |
|
10 |
10 |
|||
C8 |
||||
|
|
|||
|
|
10 |
|
|
а) 1 ; 90
б) 672 ; в) 90; г) 56.
10.14Из 10 студентов первого курса, 12 студентов второго курса и 8 студентов третьего курса нужно сформировать команду для участия в олимпиаде, состоящую из 3 человек. Известно, что в команду должен входить пред- ставитель каждого курса. Число способов, которыми можно сформиро-
вать команду равно…
а) 30; б) 1080; в) 960; г) 56.
10.15У одного человека есть 5 книг по математике, а у другого – 7. Число спо- собов, которыми они могут обменять две книги одного на две книги дру-
гого равно…
а) 31; б) 210; в) 2580;
г) 91200.
10.16На железнодорожной станции 6 светофоров. Каждый светофор имеет 3 состояния: красный, желтый, зеленый Число различных сигналов, кото-
рые могут быть поданы, равно…
а) 9; б) 18; в) 216; г) 729.
10.17Число различных перестановок, образованных из слова «поход», равно…
а) 5; б) 6; в) 60; г) 120.
10.18Из группы, состоящей из 5 мужчин и 4 женщин надо выбрать 5 человек так, чтобы среди них было не менее 2 женщин. Число способов, которы-
ми можно сделать такой выбор, равно…
а) 14; б) 60; в) 105; г) 96.
97
Варианты тестовых заданий
|
|
|
Вариант 1 |
1.. |
Дано множество N10 |
= {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10} и два его подмножества |
|
|
А={a | a N10 , а – |
четное}, В={b | b N10 , b ³ 5 }. |
|
|
Множество A Ç |
|
равно… |
|
B |
||
|
а) {1,3,5,6,7,8,9,10} ; |
б) {2, 4} ; |
|
|
в) {5,7,9}; |
г) {1,3,6,8,10} . |
|
2. |
Даны произвольные множества А, В, С. Множеству ( A Ç B) È C соответст- |
||
|
вует диаграмма Эйлера… |
|
|
|
а) |
б) |
|
в) |
г) |
3. Дано бинарное отношение R={(x,y) | x,y {1,2,3,4,5,6,7,8}, x>y}.
Область значений отношения R−1
а) |
{1,2,3,4,5,6,7}; |
б) |
{1,2,3,4,5,6,7,8}; |
в) |
{2,3,4,5,6,7,8}; |
в) |
{2,3,4,5,6,7}. |
4.Бинарное отношение R={(x,y) | x,y {1,2,3,4,5,6,7,8}, x+y>10} является…
а) рефлексивным, симметричным и транзитивным;
98
б) нерефлексивным, несимметричным и нетранзитивным; в) нерефлексивным, симметричным и нетранзитивным; г) антирефлексивным, антисимметричным и транзитивным.
5.Разностью A \ B множеств A и B называется множество…
|
а) {x | (x A) (x B)}; |
б) |
{x | (x A) (x B)}; |
|||
|
в) {x | (x A) & (x B)}; |
г) |
{x | (x A) & (x B)}. |
|||
6. |
Отношение |
f из A в B называется функциональным, если оно обладает |
||||
следующим свойством… |
|
|
|
|||
|
а) |
если |
f (a) = b и |
f (a) = c , то b = c ; |
|
|
|
б) |
если |
f (a) = b и |
f (c) = b , то a = c ; |
|
|
|
в) область определения Dom( f ) = A; |
|
||||
|
г) |
область значений Im( f ) = B . |
|
|
||
7. Формула ( y → x) (x → y) является…
а) тождественно истинной; б) тождественно ложной; в) выполнимой; г) неизвестно какой.
8. Функция x yz xyz xz существенно зависит…
а) от переменных x и z ; |
|
|
|
б) |
от переменных x и y ; |
|||||||||||||||||
в) от переменной x ; |
|
|
|
г) |
от переменной z . |
|||||||||||||||||
9. Двойственной к функции |
|
|
|
(xy |
|
)(x |
|
|
|
|
|
|
) |
|
является функция… |
|||||||
z |
y |
x |
y |
z |
||||||||||||||||||
а) x y z ; |
б) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|||||||||
|
|
|
x |
y |
z |
|||||||||||||||||
в) xyz ; |
г) |
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
x |
y |
z |
|
|
|
||||||||||||||
10.СДНФ функции f = (10100110)T имеет вид…
а) x y z xy z x yz xy z ;
б) x yz xyz x y z xyz ;
в) (x y z )(x y z)(x y z)(x y z ) ; г) (x y z )(x y z)(x y z)( x y z ) .
99
11.Дана релейно-контактная схема
Схема, эквивалентная данной, имеет вид…
а)
б)
в)
г)
12.Не является линейной логическая функция…
а) x Å y ; |
б) |
x y ; |
в) |
x |
; г) |
x y . |
13.Дана программа машины Тьюринга
q10 q21R; T = q11 q10R;q2 0 q11R;q21 q01E.
и начальная конфигурация |
P = q10000101. Заключительная конфигу- |
рация T ( P) имеет вид… |
|
а) 111101q01; |
б) 111111q01; |
в) 111101q0 0 ; |
г) 111100q01. |
100