14) Понятие перестановки.

Перестановки различаются только порядком входящих в них элементов.

Перестановка элементов множества M может быть задана посредством функции подстановки. Будем определять подстановку как биекцию  : M  M и задавать ее с помощью матрицы, состоящей из двух строк.

Если заданы две подстановки  и  своими матрицами [] и [], то их произведение  определяется следующим образом. В матрице [] столбцы переставляются так, чтобы ее первая строка совпала со второй строкой матрицы []: . В итоге получится:

[][] = =.

Тождественная подстановка – это такая подстановка e, что e(x)=x x.

3. [e] = .

Обратная подстановка – это обратная функция, которая всегда существует (подстановка является биекцией). Для получения таблицы обратной подстановки нужно поменять местами строки таблицы исходной подстановки.

4. Для подстановки [] = [^–1] = .

Подстановка  называется циклом длины r, если матрицу [] перестановкой столбцов можно привести к виду:

, т.е. первые r элементов сменяют друг друга, а остальные неподвижны: (s_i) = s_i+1, для 1  i  r –1 и (s_r) = s₁.

5. Подстановка  с матрицей [] = =является циклом (2 5 3 6), а подстановка с матрицей [] = циклом не является, т.к. из нее можно выделить два цикла (1 4) и (2 5 6 3).

Утверждение 2.2 Каждую подстановку можно однозначно (с точностью до порядка сомножителей) представить в виде произведения независимых циклов.

В примере 2.7 [] = (2 5 3 6), [] = = (1 4)(2 5 6 3).

Двухэлементный цикл (i j) называется транспозицией. При транспозиции меняются местами только i-й и j-й элементы, а остальные сохраняют свое положение.

Подстановку удобно изображать графически, соединяя стрелками элементы x и (x): .

Используя только транспозиции, можно выполнить сортировку множества в определенном порядке (например, в лексикографическом). Известный алгоритм сортировки, основанный на этом принципе, на каждом шаге осуществляет перестановку только двух соседних элементов и носит название «пузырьковой сортировки».

Число перестановок объема n принято обозначать как P_n.

15) Понятие выборки. Способы классификации выборок

Пусть дано множество M = {a₁, a₂, a₃, ..., a_n}, m  n. Набор, состоящий из m элементов множества М, называется выборкой объема m из n элементов.

Выборки классифицируются следующим образом:

1. По критерию повторяемости элементов: С возвращением объема (с повторениями) и без возвращения объема (без повторений).

2. По критерию упорядоченности:

Упорядоченные (размещения) и неупорядоченные (сочетания).

В ящике n≤10 нумерованных шаров, один достают, записывают номер и бросают обратно. Так делают три раза. Сколько разных трехзначных чисел может получиться? Для подсчета нужны размещения с повторениями

16) Размещения и сочетания без повторений – определение, формулы для расчета числа вариантов.

Размещениями из n элементов по m называются упорядоченные выборки без повторений элементов множества, которые отличаются одна от другой либо составом элементов, либо порядком их расположения. Размещение можно рассматривать как разнозначную функцию f:{1,2,…,m}M, для которой f(j)=a_ij.

Тогда числу размещений из n элементов по m соответствует число инъективных функций или число всех возможных способов разместить n предметов по m позициям («ящикам»), не более чем по одному в «ящик». Это число будем обозначать =A(n,m) (иногда обозначают P(n,m)).

6. Пусть дано множество M={1,2,3,4,5}. Тогда размещениями из 5 элементов по 2 будут, в частности, выборки (1,2), (2,1), (2,4), (4,2) и т.п.

Сочетаниями без повторений из n элементов по m называются неупорядоченные выборки без повторений элементов множества, которые отличаются одна от другой только составом элементов. Иными словами, это любые подмножества исходного множества, состоящие из m элементов.

7. Пусть дано множество M={1,2,3,4,5}. Тогда сочетаниями из 5 элементов по 2 будут выборки (1,2), (2,4), (5,2) и т.п. (Здесь (2,4)~(4,2)…)

Число сочетаний без повторений будем обозначать илиC(n,m).

.

Формула для числа размещений из n элементов по m была получена ранее. Если объединить размещения, отличающиеся только порядком элементов и совпадающие по составу, в классы эквивалентности, то получим, что мощность каждого из таких классов m! Тогда число сочетаний будет определяться как C(n,m)= .