Часть II: Математическая статистика (практикум)

Задание 1.

По данной выборке X_i выполните следующие вычисления:

а) постройте гистограмму, полигон, выборочную функцию распределения;

б) вычислите выборочные моменты и связанные величины (первый, второй, третий, дисперсию, СКО, эксцесс и коэффициент асимметрии);

в) оцените методом моментов или/и методом максимального правдоподобия по выборке параметры основных непрерывных распределений (равномерное, экспоненциальное, нормальное и пр.), оцените близость оценок теоретических распределений к выборочному; подберите качественное описание выборочного распределения теоретическим;

г) предположив, что выборка получена из нормального распределения, протестируйте гипотезы равенства среднего нулю при неизвестной дисперсии; равенства среднего нулю при дисперсии, равной выборочной;

Числовые данные

вариант:	6
i	Xi
1	0,15
2	-3,28
3	5,13
4	0,19
5	-40,44
6	11,06
7	-2,17
8	0
9	0,26
10	-7,68
11	0,33
12	-8,03
13	0,37
14	23,67
15	44,56
16	-1,62
17	42,31
18	2,62
19	21,84
20	-1,7
21	-0,49
22	-0,2
23	0,35
24	-32,11
25	13,72
26	-0,02
27	-1,95
28	-12,02
29	-7,96
30	-2,97

Решение:

а) Построим гистограмму, полигон, выборочную функцию распределения.

По данной выборке построим интервальный вариационный ряд, выделив пять частичных интервалов: -40 – -23, -23 – -6, -6 – 11, 11 – 28, 28 – 45. Длина частичных интервалов . Полученный интервальный статистический ряд запишем в виде таблицы:

	-40 – -23	-23 – -6	-6 – 11	11 – 28	28 – 45
	2	4	18	4	2

Найдем плотность частоты и запишем в таблицу:

	-40 – -23	-23 – -6	-6 – 11	11 – 28	28 – 45
	2	4	18	4	2

Построим полигон и гистограмму:

Из интервального ряда составим вариационный ряд, выбрав в качестве вариант середины интервалов. Запишем полученный ряд в виде таблицы:

	-31,5	-14,5	2,5	19,5	36,5
	2	4	18	4	2

Построим выборочную функцию распределения , учитывая, что объем выборки.

Значения наблюдались 0 раз; следовательно,при.

Значения наблюдались 2 раза; следовательно,при. Значениянаблюдались 6 раз; следовательно,при.

Значения наблюдались 24 раза; следовательно,при. Значениянаблюдались 28 раз; следовательно,при.

Значения наблюдались 30 раз; следовательно,при.

Выборочная функция распределения имеет вид:

.

б) Вычислим выборочные моменты и связанные величины (первый, второй, третий, дисперсию, СКО, эксцесс и коэффициент асимметрии). Воспользуемся методом произведений, для чего составим расчетную таблицу: варианты записываем в первый столбец; частоты – во второй, сумму частот поместим в нижнюю клетку столбца

1	2	3	4	5	6	7
-31,5	2	-2	-4	8	-16	32
-14,5	4	-1	-4	4	-4	4
2,5	18	0	0	0	0	0
19,5	4	1	4	4	4	4
36,5	2	2	4	8	16	32

В качестве ложного нуля С выберем варианту 2,5. В клетке третьего столбца, которая принадлежит строке, содержащей выбранный ложный нуль, пишем 0; над нулем последовательно записываем –1; -2, а под нулем – 1; 2.

Выборочные условные моменты -го порядка определим по формуле

; ;;.

; ;

;

Найдем центральные эмпирические моменты 3-го и 4-го порядка:

;

Найдем значения коэффициента асимметрии и эксцесс по соответствующим формулам:

;

в) оцените методом моментов или/и методом максимального правдоподобия по выборке параметры основных непрерывных распределений (равномерное, экспоненциальное, нормальное и пр.), оцените близость оценок теоретических распределений к выборочному; подберите качественное описание выборочного распределения теоретическим.

i	1	2	3	4	5	6	7	8	9
Xi	0,15	-3,28	5,13	0,19	-40,44	11,06	-2,17	0	0,26
10	11	12	13	14	15	16	17	18	19
-7,68	0,33	-8,03	0,37	23,67	44,56	-1,62	42,31	2,62	21,84
20	21	22	23	24	25	26	27	28	29	30
-1,7	-0,49	-0,2	0,35	-32,11	13,72	-0,02	-1,95	-12,02	-7,96	-2,97

1. экспоненциальное распределение: X~Exp(),.

.

2. нормальное распределение: X~. Параметрсостоит из двух компонент:.

, .

3. равномерное распределение: X~R(a, b); q=(a, b).

, .

4. гамма — распределение: X~, (λ>0, ) .. Оценки получаются из решения системы:

Визуально можно определить, что лучше всего подходит нормальное распределение.

г) Предположив, что выборка получена из нормального распределения, протестируем гипотезы равенства среднего нулю при неизвестной дисперсии; равенства среднего нулю при дисперсии, равной выборочной. При проверке гипотез будем использовать уровень значимости .

Протестируем гипотезы равенства среднего нулю при известной дисперсии. Предположим, что дисперсия известна и равна выборочной дисперсии. Выборочное среднее и выборочная дисперсиябыли вычислены в пункте б) данной задачи:,. Среднее квадратическое отклонение.

Проверим нулевую гипотезу при конкурирующей гипотезе.

Найдем наблюдаемое значение критерия .

По условию, конкурирующая гипотеза имеет вид , поэтому критическая область – двусторонняя. Найдем критическую точку из равенства

. По таблице значений функции Лапласа находим .

Так как - нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу. Другими словами, выборочная и гипотетическая средние различаются незначительно.

Проверим нулевую гипотезу при конкурирующей гипотезе. Найдем критическую точку из равенства

. По таблице значений функции Лапласа находим .

Так как - нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу. Другими словами, выборочная и гипотетическая средние различаются незначительно.

Проверим нулевую гипотезу при конкурирующей гипотезе. Найдем критическую точку из равенства.

Так как - нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу. Другими словами, выборочная и гипотетическая средние различаются незначительно.

Протестируем гипотезы равенства среднего нулю при неизвестной дисперсии. Выборочное среднее и исправленное среднее квадратическоебыли вычислены в пункте б) данной задачи:,.

Проверим нулевую гипотезу при конкурирующей гипотезе.

Найдем наблюдаемое значение критерия .

По условию, конкурирующая гипотеза имеет вид , поэтому критическая область – двусторонняя. По таблице распределения Стьюдента по уровню значимостии числу степеней свободынаходим.

Так как - нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу. Другими словами, выборочная и гипотетическая средние различаются незначительно.

Проверим нулевую гипотезу при конкурирующей гипотезе. Найдем.

Так как - нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу. Другими словами, выборочная и гипотетическая средние различаются незначительно.

Проверим нулевую гипотезу при конкурирующей гипотезе. Найдем критическую точку из равенства.

Так как - нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу. Другими словами, выборочная и гипотетическая средние различаются незначительно.

Задание 2.

По выборкам Xi, Yi выполните следующие вычисления:

а) найдите выборочную ковариацию и выборочный коэффициент корреляции;

б) методом наименьших квадратов оцените параметры модели X=aY+b, протестируйте гипотезу {a=0};

в) методом наименьших квадратов оцените параметры модели Y=kX+d, протестируйте гипотезу {k=0};

г) в пунктах (б), (в) найдите и сравните коэффициенты R²;

д) в пунктах (б), (в) протестируйте близость эмпирического распределения остатков моделей к нормальному;

е) каково ожидаемое значение с.в. Y, если известно значение с.в. X? Каков доверительный интервал для Y в этом случае? Постройте график этих зависимостей для выборочных значений X_i и сравните с выборочными значениями Y_i.