Министерство Российской Федерации по связи и информатизации

Сибирский Государственный Университет Телекоммуникаций и Информатики

Межрегиональный центр переподготовки специалистов

ОТЧЕТ

по контрольной работе

«Теория вероятностей и математическая статистика»

Вариант № 6

Выполнил: слушатель

Проверил: преподаватель Пырлик Владимир Николаевич

2011

Контрольные задания к главе 1.

9. Три пассажира садятся в поезд, случайно выбирая любой из 6 вагонов. Какова вероятность, что хотя бы один из них сядет в первый вагон, если известно, что они сели в разные вагоны?

Решение:

Количество всех возможностей сесть в разные вагоны 3-м пассажирам в 6-и вагонном поезде будет 6*5*4=120 (1-ый пассажир садится в один из 6-и вагонов, 2-ой – один из оставшиехся 5-и, и 3-ий – один из оставшиехся 4-х вагонов), а количество тех возможностей, что один пассажир сядет в 1-ый вагон, будет 5*4=20, пассажиров 3 => общее количество возможностей, что один из 3-х пассажиров сядет в 1-ый вагон, будет 3*5*4=60, => искомая вероятность будет 60/120 = 1/2 .

Ответ: 1/2.

14. Известно, что 5-значный номер телефона имеет все цифры разные. Какова вероятность при этом условии, что среди них ровно одна четная (0 считаем четной цифрой и телефонный номер может начинаться с нуля).

Решение:

Всего 5-значных чисел с разными цыфрами имеется , а теперь найдем количество 5-значных чисел, у которых ровно одна четная. Первая цыфра четная => может принимать один из 5-и четных значений, остальные могут принимать один из 5-и нечетных значений, => количество чисел с разными цыфрами, у которых только первая цыфра четная, будет , => имея ввиду, что остальные 4 цыфры будут четными так же в 600 числах каждый, то общее количество чисел с одной четной цыфрой, будет , следовательно вероятность того, что выбранное число будет иметь только одну четную цыфру, будет .

Ответ: 0,099.

32. В центральную бухгалтерию корпорации поступили пачки накладных для проверки и обработки. 90% пачек были признаны удовлетворительными: они содержали 1% неправильно оформленных накладных. Остальные 10% накладных были признаны неудовлетворительными, т.к. они содержали 5% неправильно оформленных накладных. Какова вероятность того, что взятая наугад накладная оказалась неправильно оформленной? (р₁=0,1; р₂=0,014)

Решение:

Обозначим через n число пачек и через m число накладных в каждой пачке. Тогда общее число накладных будет N=n*m. Пусть M число неправильно оформленных накладных. Найдем M:

По условию задачи

Ответ: P=0,014.

Контрольные задания к главе 2.

6. Случайная величина Х в интервале (0, 1) задана плотностью распределения вне этого интервала . Найти начальные и центральные моменты первого, второго, третьего и четвертого порядков.

Решение:

Для начальново момента порядка k имеем:

, следовательно получим:

Для центрального момента порядка k имеем:

=>

.

4. Заданы плотности равномерно распределенных независимых случайных величин Х и Y: в интервале (0, 1), вне этого интервала в интервале (0, 1), вне этого интервала. Найти функцию распределения и плотность распределения случайной величины Z=X+Y. Построить график плотности распределения .

Z=X+Y, g(z)=?

Решение

Ясно, что Z принимает значения из интервала (0,2), тогда g(z)=0 при . Пусть – любое число и G(z) – функция распределения Z. Имеем, что G(z)=P(Z<z). Рассмотрим точку M(x,y) на плоскости OXY, где и и z=x+y. Рассмотрим два случая:

1) . Тогда ясно, что .

Рис.1

2) . Тогда .

Рис. 2

Следовательно,

Рис. 3

Контрольные задания к главе 3.

1. Устройство содержит 2000 одинаковых элементов с вероятностью отказа для каждого за время , равной 0,001. Найти вероятность того, что за время откажут а) меньше трех элементов; б) не меньше одного элемента.

Решение:

n=2000, p=0.001. Обозначим через X количество элементов, которые отказали за время Т. Ясно, что X принимает значения 0,1,…,2000. Пусть любое число. Найдем P(X=m). Из n=2000 элементов можно выбрать m элементов способами. Вероятность того, что эти m элементов откажут, равна , вероятность того же, что остальные n-m элементы не откажут, равна => по принцыпу умножения получим:

1. 

б) Теперь речь идет о Так как

Ответ:

Контрольные задания к главе 4.

6. Распределение средних удоев молока в фермерском хозяйстве (литров) от одной коровы за день.

Инт-л	7,5-10,5	10,5-13,5	13,5-16,5	16,5-19,5	19,5-22,5	22,5-25,5	25,5-28,5	28,5-31,5	31,5-34,5
Кол-во коров	2	6	10	17	33	11	9	7	5

Р (15,4 < х < 28,4) = ?

Решение:

Объем выборки равен n=2+6+10+17+33+11+9+7+5=100. Предположим, что в любом интервале x распределена равномерно. С интервалом (15.4; 28.4) пересекаются интервалы с номерами 3, 4, 5, 6, 7. Интервалы 4, 5, 6 целиком содержатся в (15.4; 28.4). Интервалы 3 и 7 содержатся в (15.4; 28.4) с частями

Ответ: p = 0.73.