1) Общее уравнение прямой:
A1x+B1y+C1z+D1=0
||n1={A1,B1,C1}
A2x+B2y+C2z+D2=0 ||n2={A2,B2,C2}
(1)
n1 не коллинеарно n2 (пара плоскостей пересекается по прямой) →
А1/А2≠В1/В2≠С1/С2
Следствие:
Пусть (1) определяет прямую, тогда если α и β одновременно не равные нулю постоянные, то α(A1x+B1y+C1z+D1)+β(A2x+B2y+C2z+D2)=0 (2)
Уравнение произвольной плоскости, проходящей через заданную прямую.
Пусть α≠0 →
A1x+B1y+C1z+D1+λ(A2x+B2y+C2z+D2)=0 (3)
λ=β/α
(3) Уравнение пучка плоскостей
Задача:
Через заданную точку пространства М1(x1,y1,z1) провести прямую с заданным направляющим вектором q={q1,q2,q3}
MM1={x-x1,y-y1,z-z1} → M1M||q → (x-x1)/q1=(y-y1)/q2=(z-z1)/q3 (4) каноническое уравнение.
Векторная форма записи:
М1М x q=0 (5)
Параметрические уравнения:
из (4) следует (x-x1)/q1 → x=x1+q1*t
(y-y1)/q2 → y=y1+q2*t
(z-z1)/q3 → z=z1+q3*t (6) параметрические уравнения
Уравнение прямой проходящей через 2 заданные точки:
М1(x1,y1,z1)
M2(x2,y2,z2)
q={q1,q2,q3}={x2-x1,y2-y1,z2-z1} → (x-x1)/(x2-x1)=(y-y1)/(y2-y1)=(z-z1)/(z2-z1) (7)
Угол между двумя прямыми в пространстве:
L1: (x-x1)/q1=(y-y1)/q2=(z-z1)/q3 ||| q={q1,q2,q3}
L2: (x-x2)/m1=(y-y2)/m2=(z-z2)/m3 |||m={m1,m2,m3}
cosφ=q*m/|q|*|m|=(q1m1+q2m2+q3m3)/(√(m21+m22+m23)*(√(m21+m22+m23)) (8)
Условие параллельности:
Если прямые параллельны, то их направляющие векторы коллинеарны
Если прямые ортогональны, то их направляющие векторы тоже ортогональны. Поэтому их скалярное произведение равно нулю
Взаимное расположение двух прямых в пространстве:
1) параллельные, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются
2) пересекающиеся, если они лежат в одной плоскости и не являются параллельными
3) скрещивающиеся, если они лежат в одной плоскости.
3.4. Прямая и плоскость в пространстве.
Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве:
1) Прямая и плоскость параллельны.
а) прямая не лежит в плоскости
б) прямая лежит в плоскости
2) Прямая плоскость пересекаются в одной точке.
Пересечение прямой и плоскости
1) L задана общими уравнениями:
A1x+B1y+C1z+D1=0
A2x+B2y+C2z+D2=0
Эти уравнения совместно с общим уравнением плоскости образует систему
Ax+By+Cz+D=0
A1x+B1y+C1z+D1=0
A2x+B2y+C2z+D2=0
Координаты точки пересечения являются решением этой системы.
Система имеет единственное решение, если
|A B C |
∆=|A1 B1 C1 |≠0, что равносильно условию пересечения прямой и
|A2 B2 C2| плоскости.
Если ∆=0, то а) либо система неопределенна, решений бесконечно много (прямая лежит в плоскости); б) либо система несовместна, решений не имеет (прямая параллельная плоскости).
2) Прямая L задана каноническими уравнениями (x-x0)/l=(y-y0)/m=(z-z0)/n или параметрическими уравнениями:
x=x0+l*t
y=y0+m*t
z=z0+n*t
Подставим параметрическое уравнение в общее уравнение плоскости:
A(x0+l*t)+B(y0+m*t)+C(z0+n*t)+D=0. Получим уравнение с одним неизвестным. Решив его найдем значение параметра t и подставим его в параметрическое уравнение прямо. Получены значения x,y,z дадут координаты точки пересечения.
Угол между прямой и плоскостью
Даны канонические уравнения прямой (x-x0)/l=(y-y0)/m=(z-z0)/n и общее уравнение плоскости: Ax+By+Cz+D=0
Углом между прямой и плоскостью называется угол между прямой и ее проекцией на плоскость (на рисунке φ) Из рисунка видно: φ+δ=π/2, где δ – угол между нормальным вектором плоскости и направляющим вектором прямой. Таким образом, sinφ=cosδ. Поэтому угол между прямой и плоскостью находится по формуле:
sinφ=cosδ=(n*q)/(|n|*|q|)=(Al+Bm+Cn)/(√(A2+B2+C2)*√(l2+m2+n2))
Условие пересечения 3х плоскостей в одной и олько одной точке
L1:
A1x+B1y+C1z+D1=0
A2x+B2y+C2z+D2=0
A3x+B3y+C3z+D3=0
система ЛАУ
A1x+B1y+C1z=-D1
A2x+B2y+C2z=-D2
A3x+B3y+C3z=-D3
|A1 B1 C1|
detA=|A2 B2 C2|≠0
|A3 B3 C3|
Уравнение
прямой проходящей через заданную точку
М0(x0,y0,z0)
ортогональность заданной плоскости
π:Ax+By+Cz+D=0
M0(x0,y0,z0)
n={A,B,C}
(x-x0)/A=(y-y0)/B=(z-z0)/C
Уравнение плоскости проходящей через заданную точку М1(x1,y1,z1) параллельно заданной плоскости π1
π1:A1x+B1y+C1z+D1=0 →n1={A1,B1,C1}
π2:A1(x-x1)+B1(y-y1)+C1(z-z1)=0
Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку М0(x0,y0,z0) перпендикулярно заданной прямой (нормальная плоскость)
L: (x-x1)/q1=(y-y1)/q2=(z-z1)/q3
т.е. qe={q1,q2,q3}=nπ={A,B,C} → π:q1(x-x0)+q2(y-y0)+q3(z-z0)=0
Уравнение плоскости проходящей через заданную прямую
L: (x-x1)/l=(y-y1)/m=(z-z1)/n
и через заданную точку M0(x0,y0,z0) не принадлежащую L
n=M1M0 x q={A,B,C} → A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0
Уравнение плоскости проходящей через данную прямую параллельно другой прямой
L1: (x-x1)/l1=(y-y1)/l2=(z-z1)/l3 || M1(x1,y1,z1) принадлеж. L1
L2: (x-x2)/q1=(y-y2)/q2=(z-z1)/q3 || M2(x2,y2,z2) принадлеж. L2
l={l1,l2,l3}
q={q1,q2,q3}
L1, M1 принадлеж π
n=l*q={A,B,C}
π:A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0
Другой способ:
Ax1+By1+Cz1+D=0
Al1+Bl2+Cl3=0 (l |_ n)
Aq1+Bq2+Cq3=0 (q _|_ n)
На D можно разделить и A,B,C – найдутся
Уравнение перпендикуляра, опущенного из заданной точки M0(x0,y0,z0) на заданную прямую L.
L: (x-x1)/q1=(y-y1)/q2=(z-z1)/q3
Строим плоскость π, такую что π _|_ L и M0 принадлеж L
π: q1(x-x0)+q2(y-y0)+q3(z-z0)=0
Построение точки, симметрично заданной точке относительно пространственной прямой
М1(x1,y1,z1)
M0(x0,y0,z0)
M1*(x1*,y1*,z1*)
L: (x-x0)/q1=(y-y0)/q2=(z-z0)/q3
а) проводим нормальную плоскость
б) находим почку пересечения
в) М`(x`,y`,z`) – середина M1M1`
Аналогично относительно прямой на плоскости и плоскости в пространстве
Уравнение перпендикуляра, опоенного из заданной точки на заданную плоскость.
π: Ax+By+Cz+D=0
M(x0,y0,z0); L _|_ π
ππ={A,B,C}=q → (x-x0)/A=(y-y0)/B=(z-z0)/C
Уравнение плоскости, проходящей через заданную прямую, ортогонально заданной плоскости:
L: (x-x0)/q1=(y-y0)/q2=(z-z0)/q3 || qL={q1,q2,q3}
π: Ax+By+Cz+D=0 || ππ={A,B,C}
L принадлежит π; π1 _|_ π → nπ||π1; q||π1 → n π1=nπ x q;
имеем: n0(x0,y0,z0) принадлежит π1; nπ1={A1,B1,C1} →
π1: A1(x-x0)+B1(y-y0)+C1(z-z0)=0
Кратчайшее расстояние между двумя скрещивающимися прямыми
L1 : (x-x1)/q1=(y-y1)/q2=(z-z1)/q3 | L1 принадлежит π1
L2: (x-x2)/m1=(y-y2)/m2=(z-z2)/m3 | π1 параллельно L2
| M1(x1,y1,z1) принадлежит π1
| n π1 = q x m
На L2 задана M2(x2,y2,z2)