2.3. Скалярное произведение векторов, его свойства, вычисление.

Скалярным произведением векторов называется число равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними.

a*b=(a,b)=|a|*|b|*cosφ=|a|*пр_аb=|b|*пр_ba

1) если угол осрый, то ab>0

2)если угол тупой, то ab<0

3) если угол прямой, то ab=0

Физический смысл:

ω=|a|*|b|*cosφ=(a,b) – работы силы а, точка приложения которой перемещается из начала в b.

Свойства скалярного произведения:

1) переместительное свойство

ab=ba

2) Сочетательное свойство относительно скалярного множителя:

λ(ab)=a(λb)

3) Распределительное свойство:

(α+β)ab=α(ab)+β(ab)

a(b+c)=ab+ac

4) Скалярное произведение двух ортогональных векторов равно нулю:

ab=0

5) Скалярное произведение двух коллинеарных векторов

ab=±|a|*|b|, если a||b

Выражение скалярного произведения через координаты перемноженных векторов в декартовой системе координат.

Теорема:

Если векторы а={x1,y1,z1}; b={x2,y2,z2} заданы декартовыми координатами, то ab=x1*x2+y1*y2+z1*z2 (сумма попарных произведений одноименных координат)

Док-во:

Составим таблицу скалярного умножения базисных векторов:

i*i=1 i*j=0 i*k=0

i*j=0 j*j=1 j*k=0

i*k=0 j*k=0 k*k=1

a*b=(x1*i+y1*j+z1*k)*(x2*i+y2*j+z2*k)=x1*x2*i*i+x1*y2*i*j+x1*z2*i*k+y1*j*x2*i+y1*y2*j*j+y1*j*z*k+z1*x2*k*i+y2*z1*j*k+z1*z2*k*k=x1*x2+y1*y2+z1*z2 (доказано)

Скалярный квадрат:

a²=|a|²=ax²+ay²+az²

отсюда следует формула для модуля вектора.

Следствия:

1. Необходимое и достаточное условие ортогональности векторов является равенство:

a|_b ↔ x1x2+y1y2+z1z2=0

2. Угол φ между векторами определится равенством:

cosφ=(x1x2+y1y2+z1z2)/ sqrt(x1^2+ y1^2 +z1^2)* sqrt (x2^2 + y2^2+z2^2)

(ab=|a|*|b|*cosφ), то cosφ=

3. Если некоторая ось u составляет с координатными осями углы α,β,γ, то проекция произвольного вектора s={x,y,z} на эту ось определяется равенством

пр_us=xcosα+ycosβ+zcosγ

Док-во:

пр_us=(u,s)*1/|u|=(us=|u|* пр_us)=(u/(u,s))= xcosα+ycosβ+zcosγ

u/|u|={cosα,cosβ,cosγ}

2.4. Векторное произведение, его свойства, вычисление.

Векторным произведением вектора a на вектор b называется вектор с=a x b. который определяется следующими тремя условиями:

1. |a x b|=|a|*|b|*sinφ

2. a|_c, b|_c вектор с ортогонален векторам a и b

3. вектор с направлен так, что векторы a,b,c образуют правую тройку.

(если кратчайший поворот вектора а к вектору b осуществляется против часовой стрелки – правая тройка.

i,j,k – правая тройка.

Геометрические свойства:

1. Если a||b ↔ a x b=0 (необходимое и достаточное условие коллинеарности)

sinφ=0

2. Если a и b приведены к общему началу, то

S=|a|*|b|*sinφ=|a x b| (площадь параллелограмма)

Sтр=1/2*Sпар=1/2*|a x b|

Алгебраические свойства:

1. а x b= -b x a (меняется направленность тройки)

2. Сочетательный закон по отношению к умножению на скаляр

(λa) x b= λ(a x b)

(a x λb)= λ(a x b)

3. Распределительный закон относительно умножения на сумму векторов

a x (b+c) = a x b + a x c

(b+c) x a= b x c + c x a

4. a x a =0

Выражение векторного произведения через координаты перемножаемых векторов в декартовой системе координат.

Теорема:

Пусть векторы а и b заданы своими декартовыми координатами:

a={x1,y1,z1} b={x2,y2,z2}

|i j k|

тогда a x b=|x1 y1 z1|={ |y1 z1|, - |x1 z1|, |x1 y1|}

|x2 y2 z2| |y2 z2| |x2 z2|, |x2 y2|

Док-во:

Составим таблицу векторного умножения базисных векторов.

i x i=0 j x i =-k k x i =j

i x j=k j x j =0 k x j =-i

i x k=-j j x k= i k x k=0

Воспользуемся представлением a и b в декартовой системе координат:

а=x1*i+y1*j+z1*k

b=x2*i+y2*j+z2*k

a x b= (x1*i+y1*j+z1*k)x(x2*i+y2*j+z2*k)=…=|y1 z1|i - |x1 z1|j + |x1 y1|k

|y2 z2| |x2 z2| |x2 y2|