teor_veroyat_EX_v14

Министерство Российской Федерации по связи и информатизации

Сибирский Государственный Университет Телекоммуникаций и Информатики

Межрегиональный центр переподготовки специалистов

Экзамен

«Теория вероятностей и математическая статистика»

Вариант № 14

Выполнил: слушатель

Проверил: преподаватель Пырлик Владимир Николаевич

2011

Теоретический вопрос. Точечное оценивание: метод моментов.

Метод моментов для нахождения точечных оценок неизвестных параметров заданного распределения состоит в приравнивании теоретических моментов распределения соответствующим эмпирическим моментам, найденным по выборке. Метод был предложен Пирсоном в 1894 году. Оценки его обычно состоятельны.

Так, если распределение зависит от одного параметра (например, задан вид плотности распределения , то для находнения его оценки надо решить относительно одно уравнение: . Если распределение зависит от двух параметров (), то надо решить систему уравнений:

Пример. По выборке нормально распределенных величин найти точечные оценки неизвестных параметров и .

Для нормального распределения . Приравниваем:

, . Итак, искомые оценки параметров нормального распределения: , .

Практическое задание. Оцените распределение случайной величины по выборке:

Xi

0.199

4.627

-1.518

0.506

4.752

-0.723

0.217

1.924

0.212

0.125

- выдвиньте обоснованную гипотезу о принадлежности с.в. к некоторому распределению

Построим гистограмму этой выборки. Для этого разобьём числовую ось на интервалы [-2, -0.25], [-0.25, 2.13], [2.13, 3.25], [3.25, 5], соответствующие частоты (попадания величины в конкретный интервал отрезок) равны 0.2, 0.3, 0.3, 0.2.

Т ак как величина принимает как положительные, так и отрицательные значения, и гистограмму можно считать симметричной относительно своего центра, можно предположить, что выборка принадлежит к нормальному распределению.

- оцените параметры выбранного распределения методом моментов или методом максимального правдоподобия, объясните выбор метода

Наиболее простым методом с точки зрения вычислительных затрат является метод моментов, к тому же он позволяет делать состоятельные оценки параметров распределения. Согласно методу моментов (см. пример), .

- проверьте выдвинутую гипотезу о распределении с.в. любым известным методом, прокомментируйте смысл и содержание выбранного метода

Для проверки гипотезы о распределении используем критерий Пирсона. Это один из критериев, применимый в случае малой выборки (в отличие от, например, критерия Колмогорова), к тому же не приводящий к сложным вычислениям.

Разобьём числовую ось на интервалы ∆_k: (-6, -2), [-2, 2.13), [2.13, 5), [5, 9). Для применения критерия Пирсона в первый и последний интервал не должно попасть ни одного наблюдения, во второй и третий — не менее пяти наблюдений (в каждом из них ровно пять наблюдений, значит, можно применять критерий Пирсона). Для каждого из четырёх интервалов вычислим гипотетические частоты наблюдений (частота, которая должна наблюдаться, если выполняется гипотеза . Величины вычислим по формуле , где – функция плотности нормального распределения с параметрами m, , предварительно оцененными по методу моментов.

Интервал	Частоты	Гипотетические частоты
(-6, -2)	0	0.065
[-2, 2.13)	0.5	0.031
[2.13, 5)	0.5	0.22
[5, 9)	0	0.024

Статистика критерия Пирсона .

При справедливости гипотезы о нормальном распределении статистика Z имеет распределение . реализация статистики Z попадает в доверительную область , значит, с вероятностью 0.95 можно утверждать, что опытные данные согласуются с выдвинутой гипотезой.