2.8.2. Векторное произведение в декартовых координатах

Теорема. Если два вектора иопределены своими прямоугольными декартовыми координатамии, то векторное произведение этих векторов имеет вид

или

- символическая запись.

Удобнее всего вычислить его разложением по первой строке.

Доказательство.

Для ортов декартовой системы координат имеют место соотношения:

Используя свойства (1) – (3), получим искомое выражение.

Следствие. Если два вектора и коллинеарны, то координаты их пропорциональны, т.е.

.

Доказательство. Из равенства следует, что, т.е.

; из , следует, что; из,

следует . А это и означает, что действительно.

2.9. Задачи

1. Упростить выражение:

а) ; б).

2. Известно, что ,, векторыиобразуют угол. Вычислить: а); б); в).

3. Вычислить площадь треугольника с вершинами А(1;1;1), В(2;3;4), С(4;3;2) и найти длину высоты AD.

4. Вектор , перпендикулярный векторами, образует с осьютупой угол. Зная, что, найти его координаты.

5. Три вершины параллелограмма имеют координаты ,,. Найти его площадь и синус угла между смежными сторонами.

Домашнее задание.

6. Упростить выражение:

а) ;

б) .

7. Известно, что ,, векторыиобразуют угол. Вычислить:

а) ; б);

в) площадь параллелограмма, построенного на векторах и.

8. Векторы ,заданы декартовыми координатами. Найти координаты векторов: а); б); в).

9. Вычислить найти длину высоты, опущенной из вершины В, в треугольнике с вершинами А(1;-1;2), В(5;-6;2), С(1;3;-1).

10. Вычислить синус угла, образованного векторами ,.

Ответы. 1. а) ; б) 3. 2. а); б); в).

3. ,. 4. (-6;-24;8). 5.,. 6. а); б). 7. а); б) 3; в) 3. 8. а) (-3;5;7); б) (-6;10;14); в) (12;-20;-28). 9. 5.

10 .

2.10. Смешанное произведение векторов

Пусть даны три произвольных вектора .Смешанным произведением векторов называется скаляр, равный скалярному произведению векторана вектор.

Теорема. Смешанное произведение равно объему параллелепипеда, построенного на приведенных к общему началу векторах, взятому со знаком плюс, если тройка векторовправая, и со знаком минус, если тройка векторовлевая. Если же векторыкомпланарны, то их смешанное произведение равно нулю.

Доказательство. В силу определения смешанного произведения =. Первый сомножитель в скобкахесть площадь параллелограммаS, построенного на век-

торах и, второй– высота. Сле-довательно, - объем параллелепипеда.

Если тройка левая, то и . Если компланарны, то и тогда .

2.10.1. Смешанное произведение в декартовых координатах

Теорема. Если три вектора иопределены своими декартовыми прямоугольными координатами

, ,,

то смешанное произведение равняется определителю, строки которого соответственно равны координатам перемножаемых векторов

.

Доказательство. - это и есть указанный определитель, вычисленный разложением по последней строке.

Следствие. Необходимым и достаточным условием компланарности трех векторов , и является равенство нулю определителя, строками которого служат координаты этих векторов, т.е. равенство

.