Домашнее задание.

8. Векторы инеколлинеарны,,. Найти.

9. В параллелепипеде обозначены:,,.

Построить векторы:

а) ; б); в).

10. Сторона треугольника разделена на три равные части точками,.

Векторы ,являются сторонами треугольника.

Найти и.

11. В правильном шестиугольнике векторы,.

Найти ,,,.

12. В декартовой прямоугольной системе координат заданы векторы

, ,,.

Вычислить:

а) ; б) координаты ортавектора;

в) направляющие косинусы вектора ; г).

13. Вектор образует с осямииуглы,и. Найти угол, который образует векторс осью, и координаты вектора.

Ответы. 2. 13, 13. 4. ;;.

5. ,,,. 6. а),;

б) ; в) (-3;4;8); г) -3, 4, 8. 7.,. 8. 24.

10. ;. 11.,,

, . 12. а); б);

в) ; г) 1. 13.,.

2.3. Проекция вектора на ось и ее свойства

Дан вектор и декартова осьu. Опустим из точек А и B перпендикуляры на ось и обозначим через точки пересечения их с осьюu. Проекцией вектора на осьназывается величина направленного отрезкаосиu и обозначается . Угол наклона векторак осиu определяется как угол между двумя лучами, исходящими из произвольной точки М, один из которых имеет направление, совпадающее с направлением вектора , а другой – направление, совпадающее с направлением осиu. Рассмотрим теперь понятие числовой проекции вектора на осьu.

Числовой проекцией вектора на осьu называется произведение длины вектора на косинус угла между вектороми осьюu.

. При этом , где - единичный вектор осиu. Основное свойство числовой проекции состоит в том, что линейные операции над векторами приводят к линейным же операциям над проекциями этих векторов:

1. .

2. .

Доказательство. 1. Пусть . Тогда. Или по определению числовой проекции.

2. Пусть . Тогда. Пусть теперь, т.е.. Тогда.

2.3.1. Декартова прямоугольная система координат.

Рассмотрим три взаимно перпендикулярных оси (X, Y, Z), на каждой из которых определена декартова координата и введен единый масштаб. Пусть при этом точка О будет общая для всех трех осей как точка их пересечения и назовем ее началом координат. Определим далее для каждой из осей единичный вектор, начало которого находится в точке О: - единичный вектор осиX, - единичный вектор осиY, - единичный вектор осиZ. Совокупность этих трех векторов называется ортами осей декартовой системы координат или декартовым базисом. Упорядоченную тройку векторов и, соответственно, систему координат, будем называть правой, если поворот отпо кратчайшему направлению осуществляется против часовой стрелки. В противном случае тройка векторов (и система координат) называется левой. Вектор, идущий из начала координат в произвольную точку А называется радиус-вектором точки А и обозначаетсяили. Числовые проекции радиуса-векторана оси координат называются координатами радиус-вектора.;;.

Обычно координаты радиуса-вектора записывают в виде или. По теореме Пифагора. Если обозначить буквамиуглы наклона векторак осямX, Y, Z соответственно, то ;;. Три числаназываются направляющими косинусами радиус-вектора. Их можно определить через координаты радиус-вектора:

; ;.

Очевидно, что .

Рассмотрим теперь вектор . Поскольку, то

и аналогично для всех остальных проекций вектора . Тогда можем записать координаты вектора:

,

где - координаты вектора. Они не зависят, как и должно быть, от положения начальной точки вектора. Очевидно, чтои остаются в силе все остальные соотношения для направляющих косинусов вектора. В силу связи между проекцией векторана оси координат и его числовыми проекциями

; ;. Тогда имеем:

.

Представление вектора в виденазывается также разложением этого вектора по декартовому базису.

Рассмотрим теперь выражения для линейных операций над векторами, когда эти векторы представлены своими декартовыми координатами. Пусть

.

Поскольку координаты этих векторов являются числовыми проекциями, то на основании изложенных выше свойств числовых проекций можно записать

, .

Нетрудно видеть, что линейные операции над координатами векторов совпадают с линейными операциям для матриц, если рассматривать совокупность координат каждого вектора как матрицу, состоящую из одной строки и трех столбцов (вектор-строка). Поэтому координаты вектора можно представлять как вектор-строку или как вектор-столбец.