Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Украинская государственная академия железнодорожного транспорта

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Новая папка / Мат_Моделиров_РЦ

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

10.04.2015

Размер:

1.46 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 124 5 6 7 8 9 10 11 12 > Следующая >>>

где			dI	– скорость изменения тока в направлении х;
где			dx	– скорость изменения тока в направлении х;
			dx
		dU			– скорость изменения напряжения в направлении х.
			dx		– скорость изменения напряжения в направлении х.
			dx
			Комплексные параметры рельсовой линии на единицу длины имеют
вид
Z	0		= Z			0	e jϕ = r + jωL Ом/км;	Y	= Y e jϕ = g + jωC См/км.	(2.3)
	0					0		0	0

Для решения уравнений (2.1 и 2.2) относительно U и I исключим сначала величину I из первого уравнения, взяв первую производную

− d 2U = dI (r + jωL), dx2 dx

и подставим в это выражение (2.2), тогда

	d 2U	= U (r + jωL)(g + jωC).
	dx2

Обозначим γ = (r + jωL)(g + jωC )			(2.4)
и получим
	d 2U	= γ 2U.
	dx2

Общее решение приведенного уравнения можно записать в виде суммы прямых (падающих) и обратных (отраженных) бегущих волн с напряжением

		U =U	пр	+ U	обр	= A eγx + A e−γx .		(2.5)
			пр		обр	1	2
Дифференцируя полученное уравнение, получим выражение
	dU	= A γeγx		− A γe−γx = γ (A eγx − A e−γx ).
		= A γeγx		− A γe−γx = γ (A eγx − A e−γx ).
	dx	1		2		1	2
	dx

Подставим это уравнение в (2.1) и получим

I (r + jωL)= γ (A1eγx − A2e−γx ) или,

обозначив

Zв = (r + jωL)/γ =			(r + jωL)/(g + jωC ),	(2.6)
найдем
IZ	в	= −A eγx + A e−γx .		(2.7)
	в	1	2

Таким образом, имеем два уравнения (2.5) и (2.6) с двумя неизвестными А1 и А2. Для их определения воспользуемся значениями тока и напряжения в начале рельсовой линии (при х = 0) U1 и I1. Тогда уравнения

(2.5) и (2.7) примут вид

U1 = A1 + A2;

I1Zв = − A1 + A2.

Отсюда

A1 = (U1 − I1Zв )/ 2;

A2 = (U1 + I1Zв )/ 2.

(2.8)

Подставляя (2.8) в (2.5) и (2.7), получаем

U = [(U

− I Z

)/ 2]eγx + [(U

+ I Z

)/ 2]e−γx ;

= −[(U

− I Z

)/ 2]eγx +

[(U

+ I

)/ 2]e−γx.

С учетом того,

что chγx = (eγx + e−γx )/2 и shγx = (eγx − e−γx )/2,

получим

значения напряжения Uх и тока Iх в любой точке рельсовой линии х

U x = U1chγx − I1Zв shγx;

(2.9)

I x = I1chγx − (U1 / Zв )shγx.

В конце линии, при х = l имеем

Ul = U1chγl − I1Zв shγl;

(2.10)

Il = I1chγl −

(U1 / Zв )shγl.

В рельсовых

цепях, как правило, известны величина сопротивления

нагрузки (реле), а также величина напряжения U2 или тока I2 его срабатывания.

Зависимость напряжения и тока в начале рельсовой линии от напряжения U2 и тока I2 в ее конце находится решением системы (2.10) относительно U1 и I1

U1	= U 2chγl − I2 Zв shγl;	(2.11)
		(2.11)
I1 = I2chγl + (U1 / Zв )shγl.

Уравнения (2.9 – 2.11) представлены в общем виде и устанавливают

взаимную связь	токов и напряжений с	параметрами	линии
r, L, C и g или γ и Zв	и позволяют определить	напряжения и	токи в

произвольной координате при любой длине рельсовой линии в зависимости от значений напряжений и токов в начале или в конце ее. Эти уравнения справедливы при любых нагрузках (Z0 и Zн) на концах рельсовой линии.

Из приведенных формул следует, что распространение энергии по рельсовой линии, ток и напряжение в любой точке линии описываются аналитически с помощью гиперболических функций от комплексных аргументов.

2.3.Первичные и вторичные параметры рельсовых линий

Впериодических (квазистационарных) и в переходных режимах линии

сраспределенными параметрами могут характеризоваться двумя группами параметров – первичными и вторичными.

Для рельсовой линии, представленной длинной линией по рис. 2.1, первичные параметры, взятые на единицу длины, следующие:

Индуктивность рельсов L(Гн/км) характеризует способность цепи накапливать энергию в магнитном поле Wм = LI 2 / 2, а также определяет соотношение между током в рельсах и потокосцеплением: L =ψ / I.

Емкость C(Ф/км) оценивает способность цепи накапливать энергию электрического поля Wэ = СU 2 / 2 и связывает заряды на рельсах с напряжением между ними: С = q /υ .

Сопротивление рельсов r(Ом/км) характеризует потери энергии в проводах Wr = rI 2 и активное падение напряжения на них Ur = rI.

Проводимость изоляции g(См/км) между рельсами – величина,

обратная сопротивлению изоляции, определяет потери энергии Wg = gU 2 в балластном материале между рельсами и ток утечки I y = gU.

В приложении 1 представлены нормативные значения удельного сопротивления рельсовой линии Z pe jϕ p при различных частотах сигнального

тока.

К вторичным параметрам рельсовых линий относятся: волновое сопротивление и коэффициент распространения.

Волновое, или характеристическое, сопротивление, обозначаемое Zв ,–

это отношение комплексных действующих значений (или амплитуд) напряжения и тока прямой или обратной волн

Zв = Uпр / Iпр = Uобр / Iобр .		(2.12)
Согласно (2.4) и (2.2)
Zв = Z0 /Y 0 = zвe jϕв .
Так как Z0 = r + jωL, а Y0 = g + jωL выражение для		волнового
сопротивления длинной линии имеет вид
Zв =	r + jωL .	(2.13)
	g + jωC

Коэффициент распространения γ = α + jβ , как следует из выражения

(2.6), характеризует изменение модуля и аргумента действующего значения (или амплитуды) бегущей гармонической волны, например, для прямой

)/U

(x )= I

)/ I

(x )e

(x2−x1).

(2.14)

пр

Километрический коэффициент затухания α – показывает степень убывания амплитуды напряжения или тока бегущей по рельсовой линии волны на расстоянии 1 км, измеряется в неперах (Нп) или в децибелах (дБ) на километр. Например, для прямой волны

α = ln

U н

/U к

Нп/км,

(2.15)

пр

или

α = 20lg

U н

дБ/км ,

(2.16)

пр

где

U н ,U

к – напряжение прямой волны в начале и в конце линии.

пр

Из выражений (2.15), (2.16)следует, что

1 дБ ≈ 0,115 Нп, или 1 Нп = 8,686 дБ.

Коэффициент фазы β измеряется в радианах на метр.

Для рельсовой линии по формуле (2.1)

γ =

Z0Y0

(r + jωL)(g + jωC).

(2.17)

Выделив в формуле (2.17) действительную и мнимую составляющие,

получим

[gr − ω 2CL +

(r2 + ω 2 L2 )(g 2 + ω 2C 2 )];

α =

(2.18)

β =

[ω 2CL − gr +

(R2 + ω 2 L2 )(g 2 + ω 2C 2 )].

(2.19)

На основании выражений (2.3)

+ ϕ

α =

β =

Z0Y0 cos

;

Z0Y0 sin

Коэффициент распространения волны и его зависимость от частоты характеризуют возможную дальность передачи сигнала, определяя его затухание и искажения.

Важное значение при моделировании рельсовой линии имеют еще две величины.

Фазовая скорость v – скорость перемещения какой-либо фазы напряжения или тока синусоидальной электромагнитной волны, бегущей вдоль рельсовой линии. В цепях с постоянными параметрами v = const и

ν = dx/dt = ω/β ,

(2.20)

где ω = 2πf .

Длина волны λ – расстояние между двумя точками, взятыми в направлении распространения волны, фазы колебания в которых различаются на 2π:

λ = 2π/β.				(2.21)
Из выражений (2.20) и (2.21) следует, что
v = λf = λ /T ,				(2.22)
где ƒ, Т – частота и период колебания, задаваемые источником питания.
Для вторичных параметров возможны		приближения. При		r ≤ ωL и
g ≤ ωC
Zв ≈ L / C; γ ≈ L C ; v ≈ 1/ CL; α ≈ r	C	+ g	L ; β ≈ ω CL.	(2.23)
2	L	2	C

Наличие токопроводящих стыков, шпал с неодинаковыми изоляционными свойствами, а также режимы работы рельсовой цепи приводят к продольным и поперечным неоднородностям.

Пример 2.1. Вычислить входное сопротивление рельсовой линии, с подключенным к выходу приемником с сопротивлением 110 Ом. Частота

сигнального тока 50 Гц; рельсы P 65, Z рл = 0,8e j65o (1км); gиз =1См/км, С = 0; длина рельсовой линии 2,6 км.

Решение. Вычислим сопротивление рельсовой линии длиной 1 км.

Z рл = 0,8e j65o = 0,8cos 65o + j0,8sin 65o = 0,3381+0,725j.

По формулам (2.4) и (2.6) определим коэффициент распространения и волновое сопротивление линии длиной 1 км, соответственно:

γ =	(r + jωL)(g + jωC) =0,7544 + 0,4806 j = 0,8944e j32,50 ,
и
Zв =		(r + jωL)/(g + jωC) =0,7544 + 0,4806 j = 0,8944e j32,50 .
Используя систему (2.11), определим входное сопротивление
рельсовой линии длиной 2,6 км
Zвх =		U1	=	U 2chγl − I2 Zв shγl	,
				(U1 / Zв )shγl + I2chγl
		I1

с учетом того, что I2 = U 2 / Zн , получим:

Zвх	=	Zв (chγl − Zвshγl)	= 0,7416 + 0,4487 j = 0,8667e j31,1750 .
		Zнshγl + Zвchγl

Следовательно, входное сопротивление нагруженной рельсовой линии длиной 2,6 км: Zвх = 0,8667e j31,1750 Ом.

2.4. Неоднородные длинные линии

Рассмотрим три вида неоднородностей в рельсовых линиях: 1) локальные неоднородности; 2) кусочно-однородные (составные) линии; 3) регулярно-неоднородные линии.

Основная задача анализа неоднородных линий – получение зависимостей, по которым можно найти распределение напряжения и тока при гармонических режимах [25].

Локальные неоднородности в длинных линиях. Линия с локальной неоднородностью в виде сосредоточенного двухполюсника Yп , включенного на расстояниях l1 и l2 , показана на рис. 2.2, а.

I 1

I 2

Z 1 в х

U 1

Y n

U 2

Z 2

		l 1	l 2
			l
			а )
I 1	I 1 2	I 2 3	I 2

U 1	Z в 1	Z в 2	U	2	Z 2
	Z в 1	Z в 2	Z в 3
l 1		l 2	l 3
			l
			б )

Рис. 2.2. Неоднородные рельсовые линии:

а – локально-неоднородная линия; б – кусочно-однородная (составная) линия; Z2 – сопротивление нагрузки линии; Yп – сосредоточенная поперечная неоднородность

Для линии (рис. 2.2) справедливо матричное уравнение

U	= AΣ	U 2	,	(2.24)

I		I2

где

AΣ

= A Y A =

A11Σ

A1Σ2

(2.25)

A2Σ1

A22Σ

1 п 2

chγl1,2

Zвshγl1,2

shγl1,2

chγl1,2

;

(2.26)

1,2

Zв

Zв , γ – волновое сопротивление и коэффициент распространения линии; l = l1 + l2 , – длина линии. Подставляя в выражения (2.25) в (2.24), получаем

A11Σ = chγl + Z Y shγl					chγl	;
				в п 1	2
A1Σ2 = Zвshγl + Zв2Yпshγl1 shγl2
A1Σ2 = Zвshγl + Zв2Yпshγl1 shγl2							;
		1						(2.27)
Σ		1		shγl + Yпchγl1 chγl2 ;				(2.27)
A21	=
A21	=	Z
		Z	в


Σ	= chγl + ZвYпchγl1 shγl2 .
A22	= chγl + ZвYпchγl1 shγl2 .

Входное сопротивление длинной линии с локальной неоднородностью и нагрузкой вычисляем по формуле

Z	1вх	= (A11Σ Z	2	+ A1Σ2	)/(A2Σ1 Z	2	+ AΣ	).	(2.28)
	1вх		2			2	22

Кусочно-однородные (составные) длинные линии. Для кусочно-

однородной (составной) линии (по рис. 2.2, б) расчет режима аналогичен рассмотренному выше. Эквивалентная матрица цепи

n
AΣ = A1 A2 A3... = ∏ Ai ,	(2.29)

i=1

где матрицы Ai определяются согласно матрице (2.26) с соответствующей заменой индексов, причем в данном случае Zвi и γ i различны для каждого участка.

2.5.Линия с распределенными параметрами как четырехполюсник

Вобщем случае рельсовую линию с распределенными параметрами можно рассматривать как несимметричный четырехполюсник. Этот четырехполюсник может находиться в режимах произвольной нагрузки или продольной, или поперечной несимметрии.

Режим пассивного взаимного четырехполюсника задается напряжением U1 и I1 на первичных 1 – 1' и напряжением U2 и I2 на вторичных

2 – 2' выводах (рис. 2.3).

Подобные линии с распределенными параметрами обычно имеют с двух концов сосредоточенные элементы Z1 и Z2.

I0		I1		I2
		1	Р ельсо вая	2
U 0	Z 1	U 1	Р ельсо вая	U 2	Z 2
U 0	Z 1	U 1	ли н и я	U 2	Z 2
			ли н и я
Z вх		1'		2 '
Z вх		Z 1в х

Рис. 2.3. Нагруженный в начале и в конце четырехполюсник рельсовой линии

Напряжения и токи по концам рельсового четырехполюсника можно связать уравнениями с коэффициентами различного типа [1]:

	.											.			.						.											.
	.											.			.						.											.
					U 1				= A11U 2 + A12						I 2 ;					U 1				=			A					U		2			,
					U 1				= A11U 2 + A12						I 2 ;					U 1												U		2
	.											.			.	или					.											.
	.							= A				.			.	;					.											.
						I1		= A			U 2		+ A I 2			;				I1												I 2
								21					22
			.							.
			.							.
где			U 1				и			U 2		– матрицы-столбцы напряжений и токов;
			.							.
			I1							I 2
		A				=			A11			A12		– квадратная матрица коэффициентов;


									A			A
									A			A
									21			22
	.										.		.						.											.
	.										.		.						.											.
				I1			= Y11U 1 + Y12 U 2 ;												I1					=		Y				U 1					,
				I1			= Y11U 1 + Y12 U 2 ;												I1											U 1
	.											.	.			или			.											.
	.											.	.						.											.
				I 2 = Y21U 1+ Y22 U															I 2											U 2
				I 2 = Y21U 1+ Y22 U											2 ;				I 2											U 2
	.											.	.								.												.
	.											.	.								.												.
			U 1					= Z11 I1 + Z12 I 2 ;												U			1	=					Z				I1				,
			U 1					= Z11 I1 + Z12 I 2 ;												U			1										I1
	.											.			.	или					.												.
	.											.			.						.												.
			U 2						= Z21 I1				+ Z22 I 2 ;							U 2													I 2
	.											.			.								.													.
	.											.			.								.													.
			U 1					= H11 I1					+ H12		U 2 ;		или					U 1			=						H					I	1		,
			U 1					= H11 I1					+ H12		U 2 ;							U 1														I	1
	.											.			.							.														.
	.											.			.							.														.
					I 2			= H21 I1 + H 22 U 2 ;														I 2														U 2
								.					.				.	;										.												.
								.					.				.											.												.
										I1		= G11 U 1			+ G12		I 2												I 1							=		G		U 1	.
										I1		= G11 U 1			+ G12		I 2												I 1											U 1
								.					.				.					или						.												.
								.					.				.											.												.
										U 2 = G21 U 1 + G22 I 2 ;																		U 2												I 2

(2.30)

(2.31)

(2.32)

(2.33)

(2.34)

Из четырех коэффициентов каждой системы уравнений только три независимых; справедливы уравнения связи

A A	− A A	= 1; Y	= −Y	; Z		= −Z	(2.35)
11 22	12 21	21	12		21	12	(2.35)
H12 = H 21; G12 = G21.

В табл. 2.1. дана связь коэффициентов уравнений различного типа при указанных на рис. 2.3 положительных направлениях напряжений и токов.

Таблица 2.1

Вид	Система уравнений четырехполюсника	Схема соединения	Результирую
параметра		четырехполюсника	щее
			соотношение
1	2	3	4

Z11

Z12 I1

= [Z ] I1

Z = Z

+ Z

Z-параметры

Y-параметры

= [Y ]

Y = Y1 + Y2

Y21

Y22 U2

Y 2

A-параметры

А1

А2

= [

]

A = A

× A

A21

A22 I2

B = B2 × B2

-1

В1

В2

12 1

= [B]

параметры

b21

b22 I1

h11

h12

=[H] I1

Y 1

H = H1 + H 2

H-параметры

h21

h22 U2

Y 2

g11

g12 U1

] U1

G 1

G = G + G

G-параметры

g21

g22 I2

G 2

* Часто матрицу А записывают в виде коэффициентов А =

Описание схемы с помощью матрицы четырехполюсника основано на записи матрицы четырехполюсника, у которого направление токов и напряжений соответствует представленным на рис. 2.3. В качестве независимых можно выбрать две переменные из четырех (U1, U2, I1, I2), а

оставшиеся две переменные на основании принципа суперпозиции выразить через выбранные независимые переменные. Таким образом, если а1, а2 и а3, а4 соответственно пары выбранных переменных, то можно записать

a	1	U	11	U	12	a	3		(2.36)
		=						.
a2		U21		U22 a4

Имеется шесть возможных сочетаний пар переменных. В зависимости от выбора независимых переменных изменяются и коэффициенты четырехполюсников. Эти коэффициенты, а также схемы соединения четырехполюсников, для определения параметров которых применяют описываемую систему уравнений, приведены в табл. 2.1. Например, если два четырехполюсника соединены параллельно, то для расчета коэффициентов результирующего четырехполюсника удобней всего использовать Y-параметры. В этом случае Y-параметры результирующего четырехполюсника равны сумме Y-параметров каждого четырехполюсника.

Аналогично при каскадном соединении двух четырехполюсников неоднородной рельсовой линии матрица результирующего четырехполюсника определяется как произведение матриц, записанных в А-параметрах (передаточных параметрах).

Более сложные схемы можно представить состоящими из нескольких соединенных различным образом четырехполюсников. Используя соотношения для определения коэффициентов при различном соединении четырехполюсников, указанные в табл. 2.1, можно записать выражения для результирующих матриц рассматриваемых схем. При получении результирующей матрицы часто необходимо проводить преобразование матриц из одной системы параметров в другую.

Это можно сделать вручную с помощью табл. 2.2, которая определяет связь между различными коэффициентами четырехполюсников. Таким образом, анализ схемы с помощью четырехполюсников сводится к нахождению результирующей матрицы схемы, состоящей из более простых четырехполюсников. При расчете результирующей матрицы используют табл. 2.1 и 2.2.

						Таблица 2.2
Типы			Коэффициенты
урав-
урав-	(Z)		(Y)			(A)
нений

(Z)	Z11	Z12	y22 / ∆y	− y12 / ∆y	A11 / A21	−1/ A21
	Z21	Z22	− y21 / ∆y	y11 / ∆y	1/ A21	− A22 / A21

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 124 5 6 7 8 9 10 11 12 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Новая папка

#
10.04.20159.52 Mб32quantumcatru.pdf
#
10.04.201577.23 Кб9До КР ТЗА.pdf
#
10.04.20151.46 Mб18Мат_Моделиров_РЦ.pdf
#
10.04.20151.46 Mб24Математ. модел-е РЦ с распределенными параметрами РЛ.PDF
#
10.04.2015731.88 Кб8МВ ЛР ТЗА ТРК.pdf
#
10.04.20151.32 Mб182Уч_Пособие_РЦ.pdf