Комплексні числа. Виконання арифметичних дій з комплексними числами.

j=

j²= – 1

A=a+jb – алгебраїчна форма запису комплексного числа

θ – фаза комплексного числа

А – модуль комплексного числа

A=Ae^jθ=Acosθ+jAsinθ

A=Aθ – полярна форма запису комплексного числа

A= Acosθ+jAsinθ – тригонометрична форма запису комплексного числа

e^jθ=cosθ+jsinθ – формула Ейлера

A=Ae^jθ – показникова форма запису комплексного числа

Основними формулами є алгебраїчна і показникова.

Дії додавання і віднімання виконуються тільки а алгебраїчній формі запису.

(a₁+jb₁)±(a₂+jb₂)=(a₁±a₂)+j(b₁±b₂)

Множення найпростіше виконувати в показниковій формі запису

A₁·A₂=A₁·A₂e^j(θ1+θ2)

(a₁+jb₁)(a₂+jb₂)=(a₁a₂-b₁b₂)+j(a₁b₂+a₂b₁)

Ділення в показниковій формі найпростіше

A₁/A₂=

, kєZ

Перевод комплексного числа з алгебраїчної форми запису до показникової

A=

α=arctg

θ=α, якщо а >0

θ=α±180º, якщо а <0

Лекція№7

Резистор у колі синусоїдного струму

i(t)=I_msin(ωt+ψ_i)

U_R=Ri=RI_msin(ωt+ψ_i)

I=

U_RM=RI_M

U_R=RI

ψ_UR=ψ_I

φ_R= ψ_UR-ψ_I=0

Запишемо напругу, струм та опір резистора у комплексній формі.

–комплекс діючого значення напруги.

–комплекс діючого значення струму.

Z_R – комплексний опір резистора

Z_R=

P(t)>0

Лише генерується енергія

P_R(t)=U_R(t)·i(t)=U_RmI_m·sin²(ωt+ψ_i)= RI_m²·sin²(ωt+ψ_i)= =(1–cos(2ωt+2ψ_i)) – миттєва потужність, що виділяється в резисторі.

Активна потужність має пульсуючий характер з частотою 2.

Середнє значення миттєвої потужності резистора за період називається активною потужністю резистора.

[P]=Вт

Індуктивність у колі синусоїдного струму

i(t)=I_msin(ωt+ψ_i)

u(t)=L=ωLI_mcos(ωt+ψ_i)

Напруга на індуктивності виникає за рахунок явища самоіндукції.

U_LM=ωL·I_m ωL – виконує роль опору індуктивності.

U_L=ωL·I X_L – опір індуктивності синусоїдного струму

X_L=ω·L який змінюється з частотою ω

ψ_UL=ψ_i+

φ_L=ψ_UL–ψ_i=

Векторна діаграма індуктивності

Напруга виникає на індуктивності

випереджує струм 90 градусів

Z_L=

P_L=0

Четвертину періоду споживає енергію і четвертину генерує – реактивна енергія, реактивна потужність:

Q_L=ωL·I²=X_L·I²

Q_L=U_L·I

Ємність у колі синусоїдного струму

q=cU_c

i=

U_c=

(оскільки розглядаємо кола синусоїдного струму)

i(t)=I_Msin(ωt+ψ_i) U_c=

U_c= - опір ємності у синусоїдному струмі

X_c=X_c –також реактивний.

Q_c=U_c·I=

Струм на ємності випереджує напругу на ємності.

Z_c=

Z_c

Послідовне з’єднання резистора індуктивності у колі синусоїдного струму

i = I_msin(ωt+ψ_i)

U_R=RI_msin(ωt+ψ_i)

U_L=

U_c=

U=U_R+U_L+U_c=?

1. Складання синусоїдних функцій за допомогою векторної діаграми:

2. За допомогою комплексних зображень:

1а) Застосування для розв’язку задачі векторної діаграми

u=Usin(ωt–ψ_U)

u=Usin(ωt+φ_i+φ)

1б) U_R=RI Z - повний опір електричного кола

U_L=ωL·I

U_c=

U=Z·I

Діаграма опорів при послідовному з’єднанні

резистора індуктивної ємності

X=X_L–X_c – реактивний опір

Z=

Використання трикутника опорів дозволяє розв’язувати не тільки пряму задачу а і зворотню.

Пряма:

R, L, c, i=I_msin(ωt+ψ_i)

U_r, U_c, U_L, U – ?

Зворотня:

R, L, c, u=U_msin(ωt+ψ_U)

i, U_c, U_L, U_r – ?

Z=

I=

i=Isin(ωt+ψ_i)

Також використовують трикутник потужностей.

Лекція №8

u(t)=u_L(t)+ u_c(t)+ u_R(t)

U_R=R·I

U_L=ωL·I

U_c=

U=Z·I

Z=

P=U_R·I=RI²

Q_L=U_L·I=ωL·I²

Q_c=U_c·I=

S=U·I=Z·I²

Всі три трикутники прямокутні і подібні.