4.5.3. Резонансні криві

Резонансні криві – це графіки залежностей величин I, U_R, U_L та U_C (або відповідних амплітуд) від  або f за умови незмінної величини діючого значення U напруги на вході. Аналітичні співвідношення, які визначають вказані залежності, є такими:

Відповідні графіки для діючих значень наведено на рис. 4.31.

Рис. 4.31

Зауважимо, що максимуми залежностей I() та U_R() розташовані на резонансній частоті ₀, максимуми залежностей U_C() та U_L() зсунуті відносно цієї частоти. Цей зсув тим менший, чим більша добротність Q контуру.

Рис. 4.31 ілюструє частотно-виборні властивості послідовного коливального контуру. Ці властивості широко використовують у пристроях автоматики та зв’язку для відокремлення від складного сигналу коливань потрібного діапазону частот. При цьому частотна вибірність контуру тим краща, чим більша добротність Q (рис. 4.32). На величину добротності досить суттєво впливає внутрішній опір джерела сигналу – чим цей опір більший, тим добротність нижча. Дещо детальніше про виборні властивості послідовного коливального контуру можна дізнатися з підручника [1]. Набагато ширше це питання, а також питання впливу опору джерела сигналу на вибірність розглянуті в класичному підручнику [11].

Рис. 4.32

Лекція 16

4.6. Коло синусоїдного струму з паралельним з’єднанням активного, індуктивного та ємнісного елементів

4.6.1. Основні співвідношення. Комплексна провідність

Розглянемо коло, схему якого зображено на рис.4.33 Вважатимемо відомими величини R, L та С, а також амплітуду, частоту та початкову фазу вхідного струму . Необхідно визначити величини амплітуди та початкової фази напругина затискачах цього кола (частота цієї напруги дорівнює частоті вхідного струму, оскільки коло лінійне).

Рис. 4.33

Запишемо рівність згідно з першим законом Кірхгофа для діючих значень струмів:

.

Виразимо ці струми через вхідну напругу та відповідні опори:

(4.20)

Тут

(4.21)

є комплексною провідністю даного кола.

Величина G=1/R є активною провідністю кола, а величина B=B_L-B_C є реактивною провідністю цього кола. Величини тає реактивними провідностями відповідно ідеальної котушки та ідеального конденсатора. Приведемо вираз (4.20) до показникової форми

Величину називаютьповною провідністю кола, а кут (-) називають аргументом повної провідності кола.

З виразу (4.20) випливає, що

З іншого боку, вираз для комплексу діючого значення напруги має вигляд . Порівнявши два останні вирази, доходимо висновку, що

.

Амплітуда напруги обчислюється, як U_m=U2¯. Отже, задачу розрахунку параметрів напруги розв’язано.

Розглянемо тепер одну важливу властивість, притаманну колу з паралельним з’єднанням активного, індуктивного та ємнісного елементів.

4.6.2. Резонанс струмів. Добротність паралельного коливального контуру

Повернемося до виразу (4.21) для кола, схему якого зображено на рис. 4.33:

де B=B_L-B_C.

Підбираючи величини , L та С, можна добитися того, що реактивні провідності індуктивного та ємнісного елементів дорівнюватимуть одна одній:

B_L=B_C=B₀. (4.22)

При цьому реактивна провідність кола дорівнюватиме нулю:

B=B_L-B_C=В₀-В₀=0,

а комплексна провідність буде чисто активною і дорівнюватиме величині G:

Повна провідність також дорівнюватиме величині активної провідності:

Крім того, з виразу випливає, щоG є мінімальним значенням, яке може приймати величина повної провідності. Наприклад, якщо залишити недоторканими L та С і змінювати лише величину , то величина змінюватиметься так, як це показано на рис. 4.34. Означивши повний опір колавиразомта порівнявши його з наведеним вище виразом, дійдемо висновку, що. Тобто повний опір кола, схему якого зображено на рис. 4.33, є обернено пропорційним повному опору провідності цього кола, і на частоті, на якій сягає мінімуму, величинасягає свого максимуму, який дорівнює.

Рис. 4.34

На кутовій частоті ₀, на якій виконується рівність B_L=B_C, дорівнює нулю аргумент комплексної провідності, оскільки

.

У підрозділі 4.6.1 показано, що початкова фаза напруги обчислюється як _U=_I+, тому при виконанні умови B_L=B_C маємо:

_U=_I+0=_I,

тобто за вказаної умови струм збігається за фазою з напругою.

Режим роботи кола, утвореного паралельно з’єднаними індуктивним та ємнісним елементами (наявність резистора не є обов’язковою), при якому реактивна провідність кола дорівнює нулю, називають резонансом струмів.

Кутову частоту ₀, на якій має місце резонанс струмів, називають резонансною кутовою частотою.

Коло, схему якого зображено на рис. 4.33, називають паралельним коливальним контуром.

За означенням, при резонансі струмів на частоті ₀ маємо B_L(₀)=B_C(₀), тобто . Звідси отримуємо дуже важливі формули

(4.23)

та

. (.24)

Ці формули визначають величину резонансної частоти через параметри ідеальних конденсатора та котушки, що складають паралельний коливальний контур.

Згідно з (4.22) та (4.23) маємо (див. підрозділ 4.5.2), що Цю величину , як і для послідовного коливального контуру, позначимо як і назвемо характеристичним опором паралельного коливального контуру.

Оскільки вхідна напруга прикладена як до індуктивного, так і до ємнісного елементів, то при резонансі маємо рівні діючі значення (або амплітуди) струмів у цих елементах:

Але . При резонансі струмів, тому в цьому режиміU=IR. Тому .

Введемо добротність паралельного коливального контуру

.

Тоді при резонансі струмів діюче значення I вхідного струму пов’язане з діючими значеннями струмів у індуктивному та ємнісному елементах, як

I_L=I_C=QI.

У пристроях автоматики та зв’язку величина паралельного резистора R (див. рис. 4.33), як правило, набагато більша за , тому в них Q1. Отже, при резонансі струмів величини струмів у індуктивному та у ємнісному елементах паралельного коливального контуру в Q раз більші ніж величина вхідного струму I, що й обумовило назву “резонанс струмів” для розгляданого режиму роботи цього кола.

Змінюватимемо подумки частоту вхідного струму при постійних величинах R,L,C та I. Відмітимо, що при =₀ реактивні провідності індуктивного та ємнісного елементів рівні:

.

Якщо  < ₀, то B_L() > B_L(₀), а B_С() < B_С(₀), тобто B_L()>B_С(). Тому при  < ₀ маємо , а, тобто. Крім того, при < ₀ маємо також , оскількиB_L > B_С. Але, як показано вище, _U=_I+. Отже, при  < ₀ виконується нерівність _U>_I, тобто напруга на затискачах паралельного коливального контуру випереджає за фазою його вхідний струм. Кажуть, що за цієї обставини опір цього контуру носить індуктивний характер.

Векторні діаграми струмів та напруг для розгляданого випадку  < ₀ наведено на рис. 4.35¹.

Зверніть увагу на те, що в цьому випадку I_L>I. При подальшому збільшенні величини  величиназменшуватиметься, а величинаI_C=CU збільшуватиметься, аж доки при  = ₀ не настане рівність I_L(₀)=IC(₀).

Рис. 4.35

Оскільки ж вектори таспрямовані протилежно, топри  = ₀ реактивна складова струму дорівнюватиме нулю, а вхідний струмдорівнюватиме струмові. Якщо величинаR буде досить великою, то буде дуже малим, а отже – таким же малим буде й вхідний струмI(₀). Якщо R, то I(₀)0, в той час, як . Тобто, при великихR паралельний контур споживає при  = ₀ дуже малий вхідний струм при тому, що струм в його котушці та конденсаторі зовсім не малий (як показано вище, він в Q раз більший за вхідний струм).

Для випадку >₀ неважко показати, що величина  буде від’ємною, тобто напруга на паралельному коливальному контурі відставатиме за фазою від його вхідного струму. Це є ознакою того, що при >₀ опір такого контуру має ємнісний характер. Фізичне пояснення цього полягає в тому, що при >₀ маємо X_L()>X_C() і більша частина вхідного струму тече шляхом найменшого опору крізь конденсатор, тобто ємнісний елемент кола.