Тема 1.3. ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ

План лекции:

1. Основные утверждения комбинаторики.

2. Составление комбинаций из элементов множеств.

Список литературы:

1. Вентцель, Е.С. Теория вероятностей [Текст] / Е.С. Вентцель. – М.: Высшая школа, 2006. – 575 с.

2. Гмурман, В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика [Текст] / В.Е. Гмурман. - М.: Высшая школа, 2007. - 480 с.

3. Кремер, Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика [Текст] / Н.Ш. Кремер - М: ЮНИТИ, 2002. – 543 с.

п.1. Основные утверждения комбинаторики

На практике часто приходится выбирать из некоторого множества объектов подмножества элементов, обладающих теми или иными свойствами, располагать элементы одного или нескольких множеств в определенном порядке и т. д. Поскольку в таких задачах речь идет о тех или иных комбинациях объектов, их называют "комбинаторные задачи".

Комбинаторика занимается различного рода соединениями, которые можно образовать из элементов некоторого конечного множества. Термин "комбинаторика" происходит от латинского combina - сочетать, соединять.

Комбинаторика - область математики, изучающая комбинации и перестановки различных объектов.

Все разнообразие комбинаторных формул может быть выведено из двух основных утверждений, касающихся конечных множеств – правило суммы и правило произведения.

Правило суммы: пусть имеется n попарно непересекающихся множеств A₁, A₂, …, A_n, содержащих m₁, m₂, …, m_n элементов соответственно. Число способов, которыми можно выбрать один элемент из всех этих множеств, равно m₁ + m₂ + … + m_n.

То есть, если на первой полке стоит X книг, а на второй Y, то выбрать книгу из первой или второй полки, можно X+Y способами.

Пример: студент должен выполнить практическую работу по математике. Ему предложили на выбор 17 тем по алгебре и 13 тем по геометрии. Сколькими способами он может выбрать одну тему для практической работы?

Решение: m₁=17, m₂=13. По правилу суммы A₁UA₂=17+13=30 тем.

Кортеж - конечная последовательность (допускающая повторения) элементов какого-нибудь множества.

Правило произведения (Основной принцип комбинаторики): пусть имеется n множеств A₁, A₂, …, A_n содержащих m₁, m₂, …, m_n элементов соответственно. Число способов, которыми можно выбрать по одному элементу из каждого множества, т.е. построить кортеж (а₁,а₂,...,а_n), где а_iА_i1 (i = 1, 2, …, n), равно m₁·m₂·…·m_n.

То есть, если на первой полке стоит X книг, а на второй Y, то выбрать одну книгу с первой полки и одну со второй можно X*Y способами.

Пример: сколько существует пятизначных чисел, которые одинаково читаются слева направо и справа налево?

Решение: В таких числах последняя цифра будет такая же, как и первая, а предпоследняя - как и вторая. Третья цифра будет любой. Это можно представить в виде XYZYX, где Y и Z -любые цифры, а X - не ноль. Значит по правилу произведения количество цифр одинаково читающихся как слева направо, так и справа налево равно 9*10*10=900 вариантов.

п.2. Составление комбинаций из элементов множеств

В комбинаторике решаются задачи, связанные с рассмотрением множеств и составлением различных комбинаций из элементов этих множеств. В зависимости от правил составления можно выделить три типа комбинаций: размещения, перестановки, сочетания. Т.о., основными задачами комбинаторики являются следующие:

1) образование упорядоченных подмножеств - составление размещений;

2) образование упорядоченных множеств, состоящее в установлении определенного порядка следования элементов множества друг за другом, - составление перестановок;

3) образование подмножеств, состоящее в выделении из данного множества некоторой части его элементов, - составление сочетаний.

Размещениями из n элементов по m элементов (m < n) называются комбинации, составленные из данных n элементов по m элементов, которые отличаются либо самими элементами, либо порядком элементов. Обозначаются .

Размещения без повторений: Число размещений из n различных элементов по m элементов вычисляется по формуле:

(1).

Доказательство: Для того чтобы расположить m элементов в определенном порядке, выберем один из них и будем считать его «первым». Это можно сделать n способами.Оставшееся множество содержит n-1 элемент. Из него выберем один и назовем его «вторым». Для выбора второго элементв имеются n-1 способов. Осталось множество из n-2 элементов. Выбираем из него один и называем его «третьим», что сделать n-2 способами. Продолжив процесс отбора, последний m-й элемент можно выбрать n(m-1) способами. Согласно основному принципу комбинаторики, число всех способов, которыми можно составить размещения, т.е. число размещений равно , ч.т.д.

Размещения с повторениями (n различных элементов, элементы могут повторяться):

(2)

Перестановками из n элементов называются размещения из этих n элементов по n, различающихся только порядком. Перестановки - частный случай размещений. Обозначаются .

Перестановки без повторений (n различных элементов):

(3).

Доказательство: В формуле (1) положим m = n: , ч.т.д.

Перестановки c повторениями (k различных элементов, где элементы могут повторяться m₁, m₂, …, m_k раз и m₁ + m₂ + … + m_k = n, где n - общее количество элементов):

(4).

Сочетаниями из n элементов по m элементов называются комбинации, составленные из данных n элементов по m элементов, которые различаются хотя бы одним элементом. Обозначаются .

Отличие сочетаний от размещений в том, что в сочетаниях не учитывается порядок элементов.

Сочетания без повторений (n различных элементов, взятых по m):

(5).

Доказательство: Рассмотрим перестановку из n элементов по m. Их число . Если не считаться с порядком элементов в перестановке из m элементов, то существует m! перестановок, которые неразличимы, т.е. их нельзя отличить от первоначальной перестановки. Поэтому число всех сочетаний из n по m в m! раз меньше числа всех перестановок, т.е. , ч.т.д.

Сочетания c повторениями (n элементов, взятых по m, где элементы в наборе могут повторяться):

(6).

3