1.2 Метод релаксаций

Умножим уравнение (1) на некоторое число  =const 0 и применим к нему метод простых итераций

  f(x)=0;

x =   f(x)+x = s(x);

получим последовательность

x₀  [a,b] задано, x_k+1 =  f(x_k) + x_k .

Подберем параметр  так, чтобы выполнялось условие сходимости

|s'(x)| = | f '(x)+1|  1,

откуда получаем

 f '(x) < 0 ,  > -2/f '(x).

1.3 Метод Ньютона (касательных)

Зададим некоторое начальное приближение x_0 [a,b] и линеаризуем функцию f(x) в окрестности x₀ с помощью отрезка ряда Тейлора

f(x) = f(x₀) + f '(x₀) (x-x₀).

Вместо уравнения (1) решим линеаризованное уравнение

f(x₀) + f '(x₀)(x-x₀) = 0,

трактуя его решение x как первое приближение к корню

x₁ = x₀ - f(x₀)/f '(x₀) .

Продолжая этот процесс, приходим к формуле Ньютона

x_k+1 = x_k - f(x_k)/f '(x_k)

которую можно считать итерационным процессом с итерирующей функцией s(x) = x - f(x)/f '(x).

Геометрическая интерпретация этого процесса показана на рис.2. Уравнение (9) является уравнением линии касательной к кривой f(x) в точке x₀, поэтому этот метод называют методом касательных.

Рисунок 2

Сходимость метода Ньютона оценивается неравенством

|x_k+1 - x*| |x_k-x*|² M₂/m₁

Где

M₂ = max |f "(x)| , m₁= 2 min |f '(x)| , x [a,b].

Такая сходимость называется квадратичной, так как на каждом шаге погрешность пропорциональна квадрату предыдущей.

Следует отметить, что улучшение сходимости этого метода по сравнению с предыдущими достигается увеличением затрат на выполнение каждого шага, так как в каждом шаге требуется вычислять не только значение функции f(x), но и ее производной f '(x).

Чтобы избавиться от необходимости вычислять производную на каждом шаге используют, так называемый, модифицированный метод Ньютона, в котором производная вычисляется только однажды

x_k+1 = x_k - f(x_k)/f '(x₀).

Этот метод также можно считать методом релаксаций с параметром

 = -1/f '(x₀).

Сходимость этого метода, как и метода релаксаций линейная.

1.4 Метод секущих

Этот метод можно получить из метода Ньютона заменив производную f '(x) отношением разности функции к разности аргумента в окрестности рассматриваемой точки

f '(x)  ( f(x+h) - f(x))/h.

Подставляя это выражение в (10) получим

x_i+1 = x_i - f(x_i)h / (f(x_i+h)-f(x_i))

Геометрически это означает, что приближенным значением корня считается точка пересечения секущей, проходящей через две точки функции f(x_i) и f(x_i+h), с осью абсцисс.

Рис.3

При использовании этого метода следует уменьшать величину h по мере приближения к корню.

Вариацией этого метода является метод ложных положений. В нем для проведения секущей используются текущая и предыдущая точки. Первое приближение вычисляется по формуле (11), а остальные по формуле

x_i+1 = x_i - f(x_i)(x_i-1 - x_i) /(f(x_i-1) -f(x_i)).

1.5 Метод хорд

Идея метода состоит в том, что на отрезке [a,b] строится хорда стягивающая концы дуги графика функции y=f(x), а точка c пересечения хорды с осью абсцисс считается приближенным значением корня

c = a - (f(a) (a-b)) / (f(a) - f(b)),

c = b - (f(b) (a-b)) / (f(a) - f(b)).

Следующее приближение ищется на интервале [a,c] или [c,b] в зависимости от знаков значений функции в точках a,b,c

x*  [c,b] , если f(с) f(а) > 0 ;

x*  [a,c] , если f(c) f(b) < 0 .

Если f '(x) не меняет знак на [a,b], то обозначая c=x₁ и считая начальным приближением a или b получим итерационные формулы метода хорд с закрепленной правой или левой точкой.

x₀=a, x_i+1 = x_i - f(x_i)(b-x_i) / (f(b)-f(x_i), при f '(x) f "(x) > 0 ;

x₀=b, x_i+1 = x_i - f(x_i)(x_i-a) / (f(x_i)-f(a), при f '(x) f "(x) < 0 .

Рис.4

Сходимость метода хорд линейная.