1.1 Метод простых итераций (последовательных приближений).

Этот метод является наиболее общим и многие другие методы можно представить как некоторую вариацию метода простых итераций.

Представим уравнение (1) в виде

x=s(x). (2)

Это можно сделать, например, прибавив x к обеим частям уравнения (1). Очевидно, что при подстановке искомого корня x* в уравнение (2) оно превращается в тождество x*  s(x*).

Рассмотрим последовательность чисел x_i , которая определяется следующим образом: x_{0 } [a,b] - задано, x_k+1 = s(x_k) .

При некоторых определенных свойствах функции s(x) эта последoвательность сходится к искомому корню, т.е. x_k x^* при k  .

Метод простых итераций имеет следующую наглядную геометрическую интерпретацию (см. рис.1).

Решением уравнения (2) будет абсцисса точки пересечения прямой y=x с кривой y=s(x). При выполнении итераций значение функции s(x) в точке x_i необходимо отложить по оси абсцисс.

Это можно сделать, если провести горизонталь до пересечения с прямой y=x и из точки их пересечения опустить перпендикуляр на ось абсцисс. На рис.1 показаны разные ситуации : а) сходимость к корню односторонняя; б) сходимость с разных сторон; в) г) расходящиеся итерационные процессы.

Рисунок 1

Достаточные условия сходимости формулируются в теореме.

Теорема. Пусть в шаровой окрестности радиусом r некоторой точки  U_r() = |x-|  r функция s(x) удовлетворяет условиям

1) Коши-Липшица: для любых x₁,x₂  U_r()

| s(x₁) - s(x₂) |  q |x₁ - x₂| , причем q=const<1; (4)

2) |s() - |  (1-q) r .

Тогда уравнение (1) имеет на U_r() единственный корень x^*, последовательность (3) сходится к x^* при любом x₀  U_r(), а для погрешности справедлива оценка |x_k - x^*|  q^k |x₀-x^*| .

На практике в качестве рассматриваемой окрестности U_r() рассматривают интервал [a,b], а вместо условия (4) обычно требуют выполнения менее сильного условия |s'(x) |  q <1.

Условие (5) гарантирует что, все вычисляемые итерации x_k будут принадлежать окрестности U_r(), но при решении практических задач доказать выполнение этого условия невозможно, тем более, что интервал поиска [a,b] не совпадает с интервалом U_r(). В итоге можно столкнуться с ситуацией, когда на отрезке [a,b] выполнено условие (7), но уже x₁ выходит за границы интервала [a,b] и метод итераций расходится. Для таких случаев можно рекомендовать каким-либо образом сузить интервал локализации из которого выбирается начальное приближение. Такой подход обосновывается следующим следствием.

Следствие. Пусть в окрестности некоторой точки U_r() функция s(x) удовлетворяет условию Коши-Липшица (4) и известно, что x^* U_r(), тогда существует такая окрестность U U_r( ) содержащая искомый корень x^* U, что если выбрать x_0 U, то последовательность (3) сходится к корню x^* и имеет место оценка (6).

Скорость сходимости последовательности (3) такова, что на каждом шаге погрешность убывает в q раз |x_k+1-x^*|  q |x_k-x^*| такая сходимость называется линейной. Используя это неравенство можно получить оценку числа итераций, необходимых для достижения заданной точности.

qⁿ|x₀-x^*|   .

Мажорируя неизвестную величину |x₀-x^*| размером интервала [a,b] получим

.

При переходе от уравнения (1) к уравнению (2) можно использовать различные приемы, необходимо только, чтобы все корни уравнений (1) и (2) совпадали, а итерирующая функция s(x) удовлетворяла условиям теоремы о сходимости. Собственно методом простых итераций называется метод, при котором итерирующая функция задается в виде

s(x) = f(x) + x.

Рассмотрим другие варианты получения итерирующей функции.