E.2.7. Двоичные деревья

В упражнениях 1-27 использовать двоичные деревья при следующем их описании.

type ТЭД= ... : {тип элементов дерева}

дерево= вершина;

вершина=record элем:ТЭД;

лев, прав: дерево end;

В этих упражнениях Т, иобозначают деревья, а Е – величину типа ТЭД.

1. Создать и продемонстрировать работу программы, которая определяет, входит ли элемент Е в дерево Т.

2. Создать и продемонстрировать работу программы, которая определяет число вхождений элемента Е в дерево Т.

3. Создать и продемонстрировать работу программы, которая вычисляет сумму элементов непустого дерева Т (ТЭД=real ).

4. Создать и продемонстрировать работу программы, которая находит величину наибольшего элемента непустого дерева Т (ТЭД=real ).

5. Создать и продемонстрировать работу программы, которая печатает элементы из всех листьев дерева Т (ТЭД=char ).

6. Создать и продемонстрировать работу программы, которая определяет максимальную глубину непустого дерева Т, т.е. число ветвей в самом длинном из путей от корня дерева до листьев.

7. Создать и продемонстрировать работу программы, которая подсчитывает число вершин на n-ом уровне непустого дерева Т (корень считать вершиной 0-го уровня).

8. Рекурсивно и не рекурсивно создать и продемонстрировать работу логической функции equal (T1,T2), проверяющую на равенство деревья Т1 и Т2.

9. Создать и продемонстрировать работу процедуры copy(Т, Т1), которая строит Т1 - копию дерева Т.

10. Создать и продемонстрировать работу процедуры create(T,n), где n - положительное целое число, которое строит дерево Т, показанное на рис. 9.1.

11. Создать и продемонстрировать работу логической функции same(T), определяющую, есть ли в дереве Т хотя бы два одинаковых элемента.

12. Формулу вида

<формула> ::= <терминал> (<формула><знак><формула>)

<знак> :: = + -*

<терминал> ::= 0 123456789

можно представить в виде двоичного дерева ("дерева-формулы") с ТЭД=charсогласно следующим правилам: формула из одного терминала (цифры) представляется деревом из одной вершины с этим терминалом, а формула вида (f1sf2) - деревом, в котором корень - это знакs, а левое и правое поддеревья - это соответствующие представления формул f1 и f2. На рис. 9.2 показано дерево-формула, соответствующее формуле (5*(3+8)).

Создать и продемонстрировать работу программы, которая вычисляет (как целое число) значение дерева-формулы Т.

13. Создать и продемонстрировать работу программы, которая по формуле (см. упр.12) из текстового файла fстроит соответствующее дерево-формулуТ.

14. Создать и продемонстрировать работу программы, которая печатает дерево-формулу Т(см. упр.12) в виде соответствующей формулы.

15. Создать и продемонстрировать работу программы, которая проверяет, является ли двоичное дерево Тдеревом-формулой (см. упр.12).

16. Пусть в дереве-формуле (см. упр.12) в качестве терминалов используются не только цифры, но и буквы, играющие роль переменных. Создать и продемонстрировать работу программы, которая упрощает дерево-формулу Т, заменяя в нем все поддеревья, соответствующие формулам (f+1), (0+f), (f-0),

(f*1) и (1*f), на поддеревья, соответствующие формулеf, а поддеревья, соответствующие формулам (f*0) и (0*f ), - на вершину с 0.

17. Пусть в дереве-формуле (см. упр.12) в качестве терминалов используются не только цифры, но и буквы, играющие роль переменных. Создать и продемонстрировать работу программы, которая преобразует дерево-формулу Т, заменяя в нем все поддеревья, соответствующие формулам((f1+f2)*f3,

(f1-f2)*f3, f1*(f2+f3), f1*(f2-f3))на поддеревья, соответствующие формулам((f1*f3)+(f2*f3), (f1*f3)-(f2*f3), (f1*f2)+(f1*f3), (f1*f2)-(f1*f3)).

18. Пусть в дереве-формуле (см. упр.12) в качестве терминалов используются не только цифры, но и буквы, играющие роль переменных. Создать и продемонстрировать работу программы, которая преобразует дерево-формулу Т, заменяя в нем все поддеревья, соответствующие формулам((f1*f3)+(f2*f3), (f1*f3)-(f2*f3), (f1*f2)+(f1*f3), (f1*f2)-(f1*f3))на поддеревья, соответствующие формулам((f1+f2)*f3, (f1-f2)*f3, f1*(f2+f3), f1*(f2-f3)).

19. Пусть в дереве-формуле (см. упр.12) в качестве терминалов используются не только цифры, но и буквы, играющие роль переменных. Создать и продемонстрировать работу программы, которая строит дерево-формулу Т1 - производную дерева-формулы Тпо переменной, однобуквенное имя которой является значением литерного параметраv.

20. Предложить и описать на Паскале представление в виде двоичного дерева для формул из упр.12, в которых в качестве терминалов используются любые неотрицательные целые числа. Создать и продемонстрировать работу программы, которая вычисляет (как целое число) значение дерева-формулы Т.

21. Предложить и описать представление в виде двоичного дерева для формул из упр.12, в которых в качестве терминалов используются любые неотрицательные целые числа. Создать и продемонстрировать работу программы, которая по формуле из текстового файла f строит соответствующее дерево-формулуТ.

22. Предложить и описать представление в виде двоичного дерева для формул из упр.12, в которых в качестве терминалов используются любые неотрицательные целые числа. Создать и продемонстрировать работу программы, которая печатает дерево-формулу Тв виде соответствующей формулы.

23. Предложить и описать представление в виде двоичного дерева для формул из упр.12, в которых в качестве терминалов используются любые неотрицательные целые числа. Создать и продемонстрировать работу программы, которая проверяет, является ли двоичное дерево Тдеревом-формулой.

24. Предложить и описать представление в виде двоичного дерева для формул из упр.12, в которых в качестве терминалов используются любые неотрицательные целые числа. Пусть в дереве-формуле в качестве терминалов используются не только цифры, но и буквы, играющие роль переменных. Создать и продемонстрировать работу программы, которая упрощает дерево-формулу Т, заменяя в нем все поддеревья, соответствующие формулам(f+1), (0+f), (f-0), (f*1) и (1*f),на поддеревья, соответствующие формулеf, а поддеревья, соответствующие формулам(f*0)и(0*f),- на вершину с 0.

25. Предложить и описать представление в виде двоичного дерева для формул из упр.12, в которых в качестве терминалов используются любые неотрицательные целые числа. Пусть в дереве-формуле в качестве терминалов используются не только цифры, но и буквы, играющие роль переменных. Создать и продемонстрировать работу программы, которая преобразует дерево-формулу Т, заменяя в нем все поддеревья, соответствующие формулам ((f1+f2)*f3,

(f1-f2)*f3, f1*(f2+f3), f1*(f2-f3))на поддеревья, соответствующие формулам((f1*f3)+(f2*f3), (f1*f3)-(f2*f3), (f1*f2)+(f1*f3), (f1*f2)-(f1*f3)).

26. Предложить и описать представление в виде двоичного дерева для формул из упр.12, в которых в качестве терминалов используются любые неотрицательные целые числа. Пусть в дереве-формуле в качестве терминалов используются не только цифры, но и буквы, играющие роль переменных. Создать и продемонстрировать работу программы, которая преобразует дерево-формулу Т, заменяя в нем все поддеревья, соответствующие формулам ((f1*f3)+(f2*f3),

(f1*f3)-(f2*f3), (f1*f2)+(f1*f3), (f1*f2)-(f1*f3))на поддеревья, соответствующие формулам((f1+f2)*f3, (f1-f2)*f3, f1*(f2+f3), f1*(f2-f3)).

27. Предложить и описать представление в виде двоичного дерева для формул из упр.12, в которых в качестве терминалов используются любые неотрицательные целые числа. Пусть в дереве-формуле в качестве терминалов используются не только цифры, но и буквы, играющие роль переменных. Создать и продемонстрировать работу программы, которая строит дерево-формулу Т1 - производную дерева-формулы Тпо переменной, однобуквенное имя которой является значением литерного параметраv.

28. Деревом поиска, или таблицей в виде дерева, называется двоичное дерево, в котором слева от любой вершины находятся вершины с элементами, меньшими элемента из этой вершины, а справа - с большими элементами (предполагается, что все элементы дерева попарно различны и что их тип (ТЭД) допускает применение операций сравнения). Пример такого дерева показан на рис. 9.2.

Описав тип дерево(см. выше) и типфайл:

type файл=file of ТЭД;

написать и продемонстрировать программу, которая проверяет, входит ли элемент Ев дерево поискаТ.

29. Тип деревои типфайл, такие же, как в упр 28. Написать и продемонстрировать программу, которая записывает в файл f элементы дерева поискаТв порядке их возрастания.

30. Тип деревои типфайл, такие же как в упр 28. Написать и продемонстрировать программу, которая добавляет к дереву поискаТновый элементЕ, если его не было вТ.

31. Тип деревои типфайл, такие же как в упр 28. Написать и продемонстрировать программу, которая по файлу f, все элементы которого различны, строит соответствующее дерево поискаТ.

32. Во внешнем текстовом файле PROGзаписана (без ошибок) некоторая программа на языке Паскаль. Известно, что в этой программе каждый идентификатор (служебное слово или имя) содержит не более 9 латинских букв и/или цифр. Напечатать в алфавитном порядке все различные идентификаторы этой программы, указав для каждого из них число его вхождений в текст программы. (Учесть, что в идентификаторах одноименные прописные и строчные буквы отождествляются, что внутри литерных значений, строк-констант и комментариев последовательности из букв и цифр не являются идентификаторами и что в записи вещественных чисел может встречаться букваЕилие).

Для хранения идентификаторов использовать дерево поиска, элементами которого являются пары - идентификатор и число его вхождений в текст программы.

33. Решить предыдущую задачу, но вместе с каждым идентификатором печатать в возрастающем порядке номера всех строк текста программы, в которых он встречается.

34. Решить задачу 32 при условии, что максимальная длина идентификаторов заранее не известна.

35. Решить задачу 33 при условии, что максимальная длина идентификаторов заранее не известна.