Лекция 3 АЛГЕБРА ВЫСКАЗЫВАНИЙ
.pdf
Лекция 3 АЛГЕБРА ВЫСКАЗЫВАНИЙ |
|
|
|
|
||
Математическая (формальная) логика – |
естественнонаучная |
дисциплина, |
||||
изучающая математические доказательства и вопросы оснований математики. |
|
|||||
Традиционная |
логика |
опиралась |
на |
естественный, которыйязык |
из-за |
|
многозначности и аморфности требований к построению выражений и придания им смысла приводил ко множеству парадоксов.
Современная логика использует формальные теории(ФТ), или исчисления. Формальные теории описывают любые множества с заданными отношениями с помощью аксиом и правил вывода.
С логической точки зрения наиболее существенными свойствами формальных
теорий являются непротиворечивость, полнота и разрешимость. |
|
|
|
|
||||||||||
Исчисление |
называется |
|
|
непротиворечивым, если |
в |
нем |
не |
|
выводи |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
одновременно |
|
какое-либо |
|
высказывание |
|
и |
его |
. отрицаниеИсчислние, |
||||||
формализующее некоторую теорию, называется полным относительно этой теории, |
||||||||||||||
если |
множество |
истинных |
утверждений |
теории |
совпадает |
с |
мно |
|||||||
высказываний, |
выводимых |
в |
данном |
исчислении. Исчисление |
называется |
|||||||||
разрешимым, если существует алгоритм, позволяющий для любого высказывания определить, выводимо оно в этом исчислении или нет.
На практике формальные теории, описывающие содержательные объекты, задаются с помощью собственных аксиом, которые наряду с предикатами и функторами содержат предикаты и функторы, свойства которых аксиомами не описываются, а считаются известными в данной теории. Язык, который мы изучаем, называется языком–объектом, а язык, на котором мы формулируем и доказываем различные результаты об этом языке–объекте, называется метаязыком.
Раздел математической логики, включающий классическую логику высказываний (алгебру высказываний и исчисление высказыван) ий классическую логику
предикатов (алгебру |
предикатов |
и |
исчисление |
предикатов), называется |
классической логикой. |
|
|
|
|
Классическая логика придерживается принципа двузначности, в соответствии с которым любое высказывание является либо истинным, либо ложным. Существуют также разнообразные неклассические логики, задача которых: более полно описать те элементы логической формы рассуждений, которые упускаются классической логикой. В то же время классическая логика остается ядром современной логики, сохраняющим свою теоретическую и практическую значимость.
Математическая логика – одна из дисциплин, составляющих теоретический фундамент информатики. Из логических исследований возникло понятие алгоритма, на котором базируется программирование, проектирование вычислительных машин и автоматизированных систем управления.
3.1. Исчисление высказываний |
|
|
|
Алгебра |
высказываний – раздел |
математической |
логики, занимающийся |
построением и преобразованием высказываний с помощью логических операций, а
также изучающий свойства и отношения между ними. Это самый простой раздел
математической логики, лежащий в основе всех остальных ее разделов. |
|
||
Основными объектами рассмотрения являются высказывания. |
|
||
Под |
высказыванием понимается |
любое предложение(естественного |
или |
формализованного языка), содержание которого оценено либо как истинное, либо как ложное.
Примером могут быть фразы «сегодня холодно», «идёт дождь» и т.д. Классический пример утверждения, не являющегося высказыванием, таков: Все, что написано в этой рамке, есть ложь.
Действительно, попытка определить истинностное значение «высказывания» приводит к противоречию: если то, что написано, истинно, то это
противоречит смыслу слов в рамке. То же противоречие |
возникает, если |
|||||
предположить, что оно ложно. |
|
|
|
|
||
В исчислении |
высказываний |
не рассматриваются |
утверждения, имеющие |
|||
значения, отличные |
от |
значений«истинно» и |
«ложно». Не |
рассматривается и |
||
трёхзначная логика, |
со |
значениями, |
скажем |
«Да», «Нет», |
«Не |
знаю». Ответ |
отличный от «Да» должен быть «Нет». Древние философы называли этот принцип законом исключения третьего.
Вопросительные, повелительные и бессмысленные предложения не являются логическими высказываниями.
Значение высказывания зависит от предметной области.
Поэтому весьма важно конкретизировать область на которой опреде употребляемое высказывание.
Высказывания обозначают заглавными буквами латинского алфавита: A, B ,C ,… Эти буквы называют логическими атомами.
При фиксированном множестве букв Α= {A,B,C,...} интерпретацией называется функция I, которая отображает множество Α во множество истинност (логических) значений Τ = {истина, ложь}, то есть I :Α →Τ .
Высказывание принято обозначать символамиT (от True), или F (от False), или соответственно, 1 (для истинного значения) или 0 (для значения ложь).
По аналогии с элементарной алгеброй, где любое число является константой, высказывание является логической константой, величина которой равна 1 или 0.
Будем называть высказывание простым(элементарным, атомарным), если оно рассматривается нами как некое неделимое . целоеОбычно к ним относят высказывания, не содержащие логических связок.
Сложным (составным) называется высказывание, составленное из простых с помощью логических связок.
3.2. Формулы
Влогике над высказываниями производятся следующие основные операци
(логические |
связки): отрицание, |
конъюнкция, дизъюнкция, импликация, |
|
|
|
|
|
эквиваленция, |
неравнозначность. Они |
рассматриваются как средство вычисления |
|
логического |
значения |
сложного |
высказывания |
по |
логическим |
зна |
составляющих его простых высказываний. |
|
|
|
|
||
Связки логики высказываний представляют собой |
функции истинности |
и |
||||
функции алгебры. |
|
|
|
|
|
|
Логические связки и их обозначения:
|
Унарная операция — это операция над одним операндом |
|
|
|
||||
|
Отрицанием |
высказывания p |
называется |
высказывание ¬p |
(или |
p), которое |
||
истинно только тогда, когда p ложно. |
|
|
|
|||||
|
Конъюнкцией |
(логическим |
умножением) |
высказываний p |
и |
q называется |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
высказывание, которое истинно только тогда, когда p и q истинны., т.е. p = 1 и q = 1. Дизъюнкцией (логическим сложением) высказываний p и q называется
высказывание, которое ложно тогда и только тогда, когда оба высказывания ложны,
т. е. p= 0 и q =0.
Импликацией (логическим следованием) высказываний p и q называется высказывание, которое ложно тогда и только тогда, когда p истинно, q ложно, т.е. p=1 и q = 0 (из p следует q).
Эквиваленцией высказываний p и q называется высказывание, которое истинно тогда и только тогда, когда значения высказываний p и q совпадают (p эквивалентно q).
Таблицы истинности основных логических операций
Формула.
1)Всякая буква есть формула.
2)Если A, B - формулы, то формулами являются также ¬A, A B, A B, A→ B,
A↔B .
3) Символ является формулой тогда и только тогда, когда это следует из 1) и 2).
Для всякой формулы можно построить таблицу истинности.
Значение формулы F в заданной интерпретации I обозначают |F| или |F|I , или I(F) Часть формулы, которая сама является формулой, называется подформулой
данной формулы.
Формула называется тавтологией, если она принимает только истинные значения при любых значениях букв. Другими словами, тавтология – это тождественно истинная формула.
Установить, является ли формула тавтологией, можно:
–по таблице истинности,
–используя свойства логических операций.
Основные логические эквивалентности (свойства логических операций), которые являются примерами тавтологий: