ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ. ОБЛАСТИ СХОДИМОСТИ

Функциональный ряд

О п р е д е л е н и е 1. Ряд

(1)

составленный из функций переменой R, называется функциональным, а сами функции называются членами ряда.

О п р е д е л е н и е 2. Областью определения функционального ряда называется такое подмножество множества действительных чисел R, на котором определены все члены этого ряда. Обозначим область определения ф. р. . Тогда (2)

Область сходимости функционального ряда

При различных значениях аргумента из функционального ряда получаются различные числовые ряды вида , которые могут сходиться или расходиться.

О п р е д е л е н и е 3. Совокупность значений R, при которых имеет место сходимость числовых рядов , называется областью сходимости функционального ряда .

Теперь о главном. Бесконечное суммирование функций можно считать корректным только в области сходимости соответствующего функционального ряда. Числа можно при этом считать значениями некоторой новой функции R R . За пределами использование ф. р. (1) в прикладных расчетах лишено смысла.

Алгоритм. Поиск области сходимости ф. р.

Дан ф. р. вида (1).

Для нахождения его требуется:

0) Найти область определения ф. р. .

1) Найти вспомогательную функцию

; (3)

2) Провести анализ :

в каждой точке R , где , ф. р. (1) сходится абсолютно;

в каждой точке R , где , ф. р. (1) расходится;

в каждой точке R , где , сходимость ф. р. (1) неизвестна.

3) За берем те . , где .

Точки R , где , являются всего лишь граничными точками интервалов области сходимости. Считая исследование сходимости в граничных точках второстепенной задачей, отбросим эти точки, считая их точками расходимости ф. р. (1).

СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ И ИХ СХОДИМОСТЬ

Из функциональных рядов простейшими и наиболее часто используемыми являются ряды из степенных функций.

О п р е д е л е н и е 4. Степенным рядом называется функциональный ряд вида:

(С2)

где R – постоянные числа, которые называются коэффициентами ряда, R.

Наиболее часто рассматривается случай , дающий ряд:

(С1)

Областью сходимости всякого степенного ряда является один интервал числовой оси, симметричный относительно точки для ряда (С2) или точки для ряда (С1).

О п р е д е л е н и е 5. Интервалом сходимости степенного ряда (С2) называется интервал , такой, что для всех ряд сходится абсолютно, а для и для ряд расходится. Число R называется радиусом сходимости степенного ряда. Для степенного ряда (С1) интервалом сходимости является промежуток .

На концах интервала сходимости (при ) вопрос о сходимости или расходимости решается для каждого степенного ряда по-своему с помощью числовых рядов. У некоторых степенных рядов интервал сходимости вырождается в точку (), у других – охватывает всю числовую прямую ().

Рис. 1

Схематическое изображение интервала сходимости ряда (С2) приведено на рис. 1. В граничных точках сходимость заранее не известна.

Хотя степенного ряда можно находить по общему алгоритму через функцию , обычно применяют более простой способ нахождения радиуса сходимости – по готовым формулам.

Формула Даламбера имеет вид:

. (RD)

Формула Коши содержит корень -й степени:

. (RK)

Обращаем внимание читателей на то, что правые части формул (RD), (RK) не содержат функций переменной , а величины – это лишь числовые коэффициенты степенного ряда, а вовсе не сами степенные функции.

Формула Даламбера является основной формулой исследования степенных рядов на сходимость, а формула Коши применяется обычно в специальных случаях, когда содержит выражение от , возведенное в -ю степень, т. е. выражение вида В этом случае нахождение предела в формуле (RK) значительно проще, чем в формуле (RD).

Степенные ряды (C2), (C1) называют полными степенными рядами, если степени следуют в них одна за другой с шагом единица без пропусков: , , , , . Однако при решении задач часто встречаются неполные степенные ряды, например, ряд

состоящий только из четных степеней . Оказывается, что для неполных степенных рядов формулы (RD), (RK) не применимы и требуют внесения небольшого изменения.

О п р е д е л е н и е 6. Неполным степенным рядом назовем ряд

, (C3)

где N , Z – постоянные числа.

Для неполных степенных рядов вида (C3) радиусы сходимости определяются из соотношений, учитывающих величину . Формула Даламбера и формула Коши принимают вид:

; (RDN)

. (RKN)

6