мат.анализ_23пс / ОКИШЕВ МатАн ТПС / СЕМЕСТР3 группа 22п / Справочник ФРЯ студ / Справочник алгоритмы / Справочник ряд Фурье

ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ

Если является функцией периодической, то естественно раскладывать ее в функциональный ряд также по периодическим функциям, например, по косинусам и синусам.

О п р е д е л е н и е 8.

Тригонометрическим рядом называется функциональный ряд вида:

(8)

или, в более общем виде, ряд:

, (9)

где – постоянное число, а постоянные числа называются коэффициентами тригонометрического ряда.

КОЭФФИЦИЕНТЫ ФУРЬЕ ФУНКЦИИ

На основе условий ортогональности Фурье получил формулы коэффициентов тригонометрического ряда (8), соответствующего функции :

; (10)

, ; (11)

, . (12)

ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ СХОДИМОСТИ РЯДОВ ФУРЬЕ

( УСЛОВИЯ ДИРИХЛЕ )

Пусть функция :

Д 1. Имеет период ;

Д 2. Кусочно-монотонна на отрезке ;

Д 3. Ограничена на отрезке .

Если функция удовлетворяет условиям Дирихле, то в точках непрерывности на отрезке имеет место разложение:

, (13)

причем коэффициенты вычисляются по формулам (10) – (12).

РАЗЛОЖЕНИЕ -ПЕРИОДИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ В РЯДЫ ФУРЬЕ

Алгоритм Разложение функции в ряд Фурье.

( краткий вариант )

1) построить график периодической функции ;

2) проверить условия Дирихле Д 1 – Д 3, чтобы гарантировать сходимость ряда Фурье к функции в точках непрерывности. При невыполнении этих условий завершить решение задачи;

3) вычислить коэффициенты Фурье функции ;

4) составить разложение вида (13), указав подмножество числовой прямой, на котором это разложение справедливо.

Ряды для четных и нечетных функций

Если функция – четная, а –нечетная, то

; (14)

. (15)

Графики четной и нечетной -периодических функций изображены на рис. 3.

а) Четная периодическая функция б) Нечетная периодическая функция

Рис. 3

В случае четной периодической функции (рис. 3а) имеем:

; (16)

, ; (17)

, . (18)

Таким образом, четная функция раскладывается в ряд Фурье только по косинусам, а коэффициент «регулирует» сдвиг графика функции по оси ординат.

В случае нечетной периодической функции (рис. 3б) имеем:

; (19)

, ; (20)

, . (21)

Нечетная функция раскладывается в ряд Фурье только по синусам, а сдвиг графика функции по оси ординат отсутствует .

РАЗЛОЖЕНИЕ -ПЕРИОДИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ В РЯДЫ ФУРЬЕ

Так как число – произвольное , то в данном разделе рассматриваются функции с произвольным периодом Т = .

Разложение по основной тригонометрической системе функций

-периодической функции соответствует ряд Фурье вида:

, (22)

т. е. раскладывается в ряд по основной тригонометрической системе .

Все изложенное выше для рядов Фурье вида (13) можно перенести на ряды вида (22).

Условия Дирихле и Формулы коэффициентов Фурье

Д 1. Функция имеет период ;

Д 2. Кусочно-монотонна на отрезке ;

Д 3. Ограничена на отрезке .

Общие формулы коэффициентов Фурье -периодической функции :

; (23)

, ; (24)

, . (25)

Для четной -периодической функции выполняется:

; (26)

, ; (27)

, , (28)

Для нечетной -периодической функции справедливо:

; (29)

, ; (30)

, . (31)

15