мат.анализ_23пс / ОКИШЕВ МатАн ТПС / СЕМЕСТР3 группа 22т / Справочник ФРЯ студ / Справочник алгоритмы / Справочник ряд Тейлора

РАЗЛОЖЕНИЕ В РЯД ТЕЙЛОРА И РЯД МАКЛОРЕНА

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ

О п р е д е л е н и е 7. Пусть функция f(x) задана в некоторой окрестности точки и имеет в этой точке производные любого порядка. Тогда степенной ряд

R, (4)

называют рядом Тейлора функции f(x) в точке . При = 0 ряд Тейлора называют рядом Маклорена. Он имеет вид:

. (5)

Ряд Тейлора (4) есть степенной ряд общего вида с коэффициентами и интервалом сходимости , где R – радиус сходимости.

Ряд Маклорена (5) – это степенной ряд с коэффициентами , а его интервал сходимости – . .

Равенства-разложения

(6)

и

(7)

справедливы лишь в том случае, если остаточный член при .

АЛГОРИТМ РАЗЛОЖЕНИЯ В РЯД ТЕЙЛОРА С ПОМОЩЬЮ

ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ ИСХОДНОЙ ФУНКЦИИ

Так как основной частью коэффициента ряда Тейлора является значение производной п-го порядка функции f(x) в точке , то можно составить ряд Тейлора функции f(x), последовательно находя значения ее производных при .

Алгоритм А1 Разложение в ряд Тейлора дифференцированием.

Функцию f(x) требуется разложить в ряд вида и определить интервал , в котором это разложение верно, т. е. выполняется равенство (6). Нужно выполнить следующие действия:

1. найти производные

2. вычислить значения производных в точке ;

3. найти общую формулу и составить ряд (4);

4. найти интервал сходимости ряда ;

5. определить точки , где = 0, т. е. точки, в которых раз-

ложение функции f(x) справедливо.

З а м е ч а н и е. В алгоритме А1 четвертый шаг мы будем выполнять частично, не проверяя сходимость ф. р. (4) в граничных точках , а пятый шаг будем считать выполнившимся автоматически: все f(x) будут у нас элементарными, и поэтому при для всех .

На практике часто ограничиваются получением нескольких начальных членов ряда, что соответствует аппроксимации функции f(x) многочленом Тейлора в некоторой окрестности точки . Построение именно таких аппроксимаций требуется выполнить в задачах типового расчета на алгоритм А1.

СТАНДАРТНЫЕ РАЗЛОЖЕНИЯ В СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ

При помощи алгоритма А1 для многих простейших функций f(x) были получены разложения в ряды Тейлора. Особенно часто используется таблица рядов Маклорена для некоторых основных элементарных функций, в которую в разных учебниках включается разное количество формул.

ТАБЛИЦА РЯДОВ МАКЛОРЕНА

1) , R.

2) , R.

3) , R.

4) , .

5) , .

6) , R.

7) , R.

8) , .

АЛГОРИТМ РАЗЛОЖЕНИЯ В РЯД ТЕЙЛОРА

КОМБИНИРОВАНИЕМ ИЗВЕСТНЫХ РЯДОВ

Алгоритм А2 Разложение в ряд Тейлора комбинированием.

Функцию f(x) требуется разложить в ряд Тейлора или Маклорена. Область, где найденное разложение будет верным, определяется на основе свойств операций над степенными рядами. Для решения задачи выполняются следующие действия:

1. представить функцию f(x) как комбинацию функций, разложения ко-

торых известны;

2. подставить в выражение f(x) ряды для отдельных компонент;

3. выполнить операции над рядами;

4. определить интервал сходимости комбинации рядов.

З а м е ч а н и е. Часто в задачах используются неполный (упрощенный) вариант алгоритма А2 и нестандартные, вновь полученные исследователем (студентом) разложения функций в ряды Тейлора.

Хотя алгоритм реализуется на основе таблицы рядов Маклорена, применение замен переменных позволяет получать с его помощью ряды Тейлора для . Кроме того, идея алгоритма может быть применена для комбинирования рядов Тейлора по степеням при одинаковом центре разложения .

10