Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Омский Государственный Университет Путей Сообщения

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Типовик 2 семестр ч5

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

10.04.2015

Размер:

496.81 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 42 3 4 > Следующая >>>

ГЛАВА 2. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

143

2)продифференцировать введенную в п. 1 подстановку;

3)найти новые пределы интегрирования t1 и t2 с помо щью формулы из п. 1;

4)выразить все, что стоит под знаком интеграла, че рез новую переменную;

5)вычислить полученный интеграл.

Отметим, что если при вычислении определенного ин теграла методом замены переменной аккуратно выполне ны п. 1...4, то возвращаться к старой переменной не нуж? но, а можно вычислить интеграл, используя новую пере менную.

Пример 2.6.

1 ln2 x dx. x

Ре ш е н и е. Подынтегральная функция непрерывна

вобласти интегрирования. Применим формулу замены переменной. В таблице 2 находим требуемую подстанов ку t = lnx, новые пределы интегрирования имеют вид: если

x = 1, то t1 = ln1 = 0, если же x = e, то t2 = lne = 1. Выразив подынтегральное выражение, вычислим полученный ин теграл:

e ln2 x			2	t 1 lnx,		3		1		1
			4		dx	5			t3			1
			4		dx	5			t3			1
8		dx 1	4	dt 1	x ,	5	1	8t2dt 1			1	3.
8	x	dx 1	4	dt 1	x ,	5	1	8t2dt 1	3	0	1	3.
1			4	1 0,	t(e) 1	5		0
			6t(1)	1 0,	t(e) 1	17

Пример 2.7.

1/6

3 sin2 x dx.

21/6 cosx

Р е ш е н и е. Подынтегральная функция — четная от носительно x, поэтому по свойству 7 из п. 2.5 получим

1 /6	sin2 x	1/6 sin2 x
4	cosx dx 3 2	4	cosx dx.
21/6		0

144	ПРАКТИКУМ И ЗАДАНИЯ ПО ИНТЕГРАЛЬНОМУ ИСЧИСЛЕНИЮ

Поскольку подынтегральная функция нечетная отно сительно cosx, то подстановка t = sinx приводит к цели (см. табл. 4 и 5):

3/6

43/6

3/6

sin2 x dx 5 2 cosx

sin2 x dx 5 cosx

6	sinx 5 t,			dx 5	dt		,		7
8	sinx 5 t,			dx 5		2	,		9
5 8					14 t				9 5
5 8					3	25		1	9 5
8		2	,	t(0) 5 0;	3			1	9
cosx 5 1 4 t			,	t(0) 5 0;	t16			2

1/2		t2dt		1/2					t2dt											1/2		((t2			41)			1)dt
5 2				5 42												5 42														5
5 2			2	5 42					t	2		4		1		5 42									t	2	41			5
0	1 4 t					0			t			4		1						0					t		41
0						0														0
1/2				1/2				dt											1/2				2			t 41			1/2
1/2				1/2																									1/2
5 42 dt 4 2													5 42t								4			ln					5
																			0							t 1
							t	2	4														2
								2
	0			0							1																		0
											1																		0

			1	41											4 1										1


5 41 4 ln			2		5 414 ln													5 41 4 ln									5 ln3 41.
5 41 4 ln					5 414 ln													5 41 4 ln									5 ln3 41.
			1	1												3									3
			1	1												3									3
			2
Пример 2.8.
						1/2				arcsinx
						2						1 1 x					2			dx.
				11/2								1 1 x

Ре ш е н и е. Подынтегральная функция непрерывна

вобласти интегрирования. Здесь значение интеграла мож но вычислить, используя замену t = arcsinx (см. табл. 2):

						5									1			4		6
1/2	arcsinx					8 t 7 arcsinx, t1								3	22 7 3 6				,9
			2	dx 7		8			dx							1		4		9	7
31/2	1 3 x					8dt		7					,	t1		22	7	6		9
31/2	1 3 x					8dt		7				2	,	t1		22	7	6		9
						8			1 3 x											9
									1 3 x
4 /6		t2			4/6		(4/6)2				(4/6)2					42		42
4 /6		t2			4/6		(4/6)2				(4/6)2					42		42
7	tdt 7					7				3				7			3			7 0.
7	tdt 7		2		34/6	7		2		3		2		7		72	3	72		7 0.
34/6			2		34/6			2				2				72		72
34/6

Отметим, что этот результат можно получить и без вы числений, заметив, что подынтегральная функция нечетна относительно x, и воспользовавшись свойством 8 из п. 2.5.

ГЛАВА 2. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

145

2.7. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ПО ЧАСТЯМ В ОПРЕДЕЛЕННОМ ИНТЕГРАЛЕ

Если функции u = u(x), v = v(x) и их производные u (x), v (x) непрерывны на отрезке [a, b], то имеет место форму ла интегрирования по частям в определенном интеграле:

	b	(20)
3udv 1 uv	a 2 3vdu.

a a

Порядок вычисления:

1)подынтегральное выражение разбить на две части, одну обозначить символом u, другую — dv (см. п. 1.4.2);

2)вычислить дифференциал du функции u и найти функцию v по ее дифференциалу, интегрируя dv;

3)применить формулу интегрирования по частям, про

верив предварительно непрерывность функций u(x), v(x), u (x), v (x).

Формула интегрирования по частям в определенном интеграле применяется для тех же типов интегралов, что описаны в п. 1.4.2.

Пример 2.9.

1 /4			4u 2 4x 31,						dv 2 sin2xdx,					5
(4x 31)sin2xdx 2			6			v 2			sin2xdx 2 3			1		7	2
			6du 2 4dx,			v 2			sin2xdx 2 3			2	cos2x7
0			8									2		9
	1				1/4	4	1 /4
	1					4
2 3	2	(4x 31)cos2x			0	2				cos2xdx 2
		(1 31)cos 1 3						0			1 /4
	1			1 cos0				2 sin2x

2 3											2
	2		2	2				2			0
	2		2	2				2			0
		2 3 1 sin			1 3 sin0 2					1.
			2	2						2

Так как функции u(x) = 4x – 1, v(x) = –1/2cos2x, v (x) = sin2x непрерывны на [0, /4], то можно использо вать формулу интегрирования по частям в определенном интеграле.

146	ПРАКТИКУМ И ЗАДАНИЯ ПО ИНТЕГРАЛЬНОМУ ИСЧИСЛЕНИЮ
Пример 2.10.
	e				2 u 1 lnx,						dv 1 xdx,						3
	xlnxdx 1 4						dx			,	v 1			xdx 1		x2 5		1
					4du 1		x			,	v 1			xdx 1			5
	1				6		x									2 7
	x2		e		e x2 dx			e2				1				1 e
	x2		e		e x2 dx			e2				1				1 e
1	2 lnx		1	8 2 x			1		2 lne 8			2 ln1			8	2	xdx 1
					1												1
	1 e2				8 x2	e 1 e2			8 e2		9 1		1 e2		9	1.
	1 e2				8 x2	e 1 e2			8 e2		9 1		1 e2		9	1.
		2			4	1	2			4	4			4		4
		2			4	1	2			4	4			4		4

Отметим, что поскольку функции u(x) = lnx и u (x) = = 1/x непрерывны на [1, e], формулой интегрирования по частям пользоваться можно.

2.8. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

Вводя понятие определенного интеграла, мы исходи ли из условий ограниченной подынтегральной функции и конечности пределов интегрирования. Такой интеграл называют собственным (в данном случае слово «собст венный» обычно опускается). Если хотя бы одно из этих условий не выполнено, то интеграл называют несобст? венным, т. е. несобственный интеграл от непрерывной функции, но с бесконечным промежутком интегрирова ния (несобственный интеграл I рода) или определенный интеграл с конечным промежутком интегрирования, но от функции, имеющей на нем бесконечный разрыв (не собственный интеграл II рода).

2.8.1.

ИНТЕГРАЛЫ С БЕСКОНЕЧНЫМИ ПРЕДЕЛАМИ (НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ I РОДА)

Если функция f(x) непрерывна при a x < + , то по определению

12	b
5 f(x)dx 4 blim312 5f(x)dx.		(21)
a	a

Если этот предел существует и конечен, то несобствен ный интеграл называется сходящимся, если же этот пре

ГЛАВА 2. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

147

дел не существует или равен бесконечности — расходя? щимся.

Аналогично:

b	a123	b
5	a123	5			(22)
	f(x)dx 4 lim		f	(x)dx.	(22)
23		a
По определению если функция f(x) непрерывна при
– < x < + , то
12	c			12
5 f(x)dx 4 5 f(x)dx 1 5 f(x)dx,					(23)
32	32			c

где – < с < + произвольно, причем интеграл в левой час ти равенства считается сходящимся, если сходятся оба интеграла в правой части.

Порядок вычисления несобственного интеграла:

1)вычислить определенный интеграл с переменным пределом;

2)найти предел от полученного выражения.

Если f(x) непрерывна на соответствующих промежут ках, а F(x) — одна из первообразных, то формулы (21)...(23) можно записать так:

12		a12 3 F(12) 4 F(a);
5 f(x)dx 3 F(x)			(24)
			(24)

a
a		a12 3 F(a) 1 F(12);
4 f(x)dx 3 F(x)			(25)
			(25)

12
12	3122 4 F(12) 3 F(32),
5 f(x)dx 4 F(x)			(26)
			(26)

32
где
F(23) 5 lim F( A); F(43) 5 lim F( A).
A123		A143

Формулы (24)...(26) аналогичны формуле Ньютона — Лейбница (18) для интегралов с конечными пределами. При вычислении несобственных интегралов можно пользовать ся формулой интегрирования по частям. Можно применять и способ подстановки, но при условии, что функция x = (t) или t = (x) монотонна на промежутке интегрирования.

148 ПРАКТИКУМ И ЗАДАНИЯ ПО ИНТЕГРАЛЬНОМУ ИСЧИСЛЕНИЮ

Пример 2.11.

Вычислить несобственный интеграл или доказать его расходимость:

						5			t 7 x;			6
		12	e	3 x	7	8			2dt 7 dx ;			9	7
			e	dx	7	8			2dt 7 dx ;			9	7
		1		x		8					x	9
						8t(1) 71;				t(12) 7 129

	12							112						2
7 2		e3tdt 7 32e3t							7 lim (32e3t ) 1			2e31 7			,
7 2		e3tdt 7 32e3t							7 lim (32e3t ) 1			2e31 7			,
									t412					e
	1
так как lim e1t				5 0, т. е. интеграл сходится.
t234
Пример 2.12.
					12				dx
					4				dx		.
							x2		3 2x 1	10	.
							x2		3 2x 1	10
					32

Р е ш е н и е. Поскольку D = 4 – 40 = –36 < 0, подынте гральная функция непрерывна в области интегрирования. Сделаем замену x = t + 1 (см. п. 1.5), получим

12		dx			6x 5 t 11;				dx 5 dt;7					12			dt
		dx			8	t(32) 5 32;							9	5			dt
	x2	3 2x 110		5 8		t(32) 5 32;							9	5	(t 11)2	3 2(t 11) 110						5
32						t(12) 5 12								32
		12		dt			1			t	12		2			t
		12		dt			1			t	12		2			t
		5				5		arctg				5		lim arctg			5		,
		5		2	1 9	5		arctg				5		lim arctg			5		,
		32	t				3			3	32		3 t412			3		3
			t				3			3	32		3 t412			3		3

поскольку arctgt нечетная функция, а lim arctgt 5																				4	. Та
ким образом, интеграл сходится.															t123					2
ким образом, интеграл сходится.

Пример 2.13.

3 xdx .

0 x2 11

Р е ш е н и е. Подынтегральная функция непрерывна в области интегрирования. Удобна замена t = x2 + 1, яв ляющаяся непрерывной и монотонной в области интегри рования:

ГЛАВА 2. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

	12 xdx						5t 4 x2		11;	dt 4 2xdx;6
						4	7				8	4
			x	2	11	4	7				8	4
	0		x		11		9 t(0) 4 1;			t(12) 4 12
	0
4	1	12 dt 4				1 ln\|t\|		12	4 1 lim ln\|t\| 1 ln1,
4	1	12 dt 4				1 ln\|t\|		12	4 1 lim ln\|t\| 1 ln1,
	2				t	2		1	2 t312		2
	2	1			t	2		1	2 t312		2
		1

поскольку lim ln|t| 4 2 3, интеграл расходится.

t123

2.8.2.

ИНТЕГРАЛЫ ОТ НЕОГРАНИЧЕННЫХ ФУНКЦИЙ (НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ II РОДА)

Если функция f(x) непрерывна при a x < b и

lim f(x) 2 3, x1b

то по определению

bb12

5f(x)dx 4 lim230 5 f(x)dx.

Если функция f(x) непрерывна при a < x b и

lim f(x) 2 3, x1a

то

5f(x)dx 4 lim 5 f(x)dx.
a	120 a31

149

(27)

(28)

Если функция имеет бесконечный разрыв во внутрен ней точке c промежутка [a, b], то по определению пола гают

b	c12	b
7f(x)dx 6 lim230	7 f(x)dx 5 lim430	7	f(x)dx.	(29)
7f(x)dx 6 lim230	7 f(x)dx 5 lim430	7	f(x)dx.
a	a	c54

Порядок вычисления несобственного интеграла от не ограниченных функций аналогичен порядку вычисления несобственного интеграла с бесконечными пределами. Определения сходящегося и расходящегося интегралов аналогичны соответствующим для несобственных инте гралов с бесконечными пределами. Интеграл (29) сходит? ся, если существуют и конечны оба предела.

150	ПРАКТИКУМ И ЗАДАНИЯ ПО ИНТЕГРАЛЬНОМУ ИСЧИСЛЕНИЮ

Как и в п. 2.8.1, можно записать аналог формулы Нью тона — Лейбница:

3f(x)dx 1 F(x) ba

1 F(b 2 0) 2 F(a),

(30)

если f(x) непрерывна на a x < b, а под F(b – 0) понимает

ся lim	F(t).
t1b20
Аналогично:
	b		ba 1 F(b) 2 F(a 3 0),
	4f(x)dx 1 F(x)					(31)


	a
если f(x) непрерывна на a < x b, а F(a 2 0) 3 lim						F(t).
				t1a20
b	c	b
4f(x)dx 1 4f(x)dx 2 4f(x)dx 1 F(x)				ac 2 F(x)	bc 1


a	a	c
	1 F(c 3 0) 3 F(a) 2 F(b) 3 F(c 2 0),

где c — точка бесконечного разрыва подынтегральной функции, F1(x), F2(x) — первообразные функции f(x) на участках a x < c и c < x b, на которых f(x) непрерыв на. Интеграл в последнем случае сходится, если сущест вуют и конечны оба предела

F1	(с 20) 3 lim F1 (t) и F2 (с 2 0) 3	lim F2 (t).
	t1c20	t1c20

Если хотя бы один из пределов не существует или беско нечен, то интеграл расходится.

Интегрирование по частям и способ подстановки см. в п. 2.8.1.

Пример 2.14.

Вычислить несобственный интеграл или доказать его

расходимость:	1	dxx2 .
	2	dxx2 .
	11

Ре ш е н и е. Подынтегральная функция терпит разрыв

вточке x = 0, поэтому

ГЛАВА 2. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

151

1	dx	0	dx	1 dx	1	0	1	1
1	dx	0	dx	1 dx	1	0	1	1
4	x2	2 4	x2	3 4 x2	2 1 x	11 1 x		0 ,
11		11		0

поскольку limx30 14 x1 25 6, интеграл расходится.

Пример 2.15.

3	x3dx
20		.
	9 1 x2	.
	9 1 x2

Р е ш е н и е. Подынтегральная функция обращается в бесконечность в точке x = 3. Сделаем замену t = 9 – x2, монотонную в области интегрирования 0 x 3:

				3t 1 9 2 x2; x2 1 9 2 t;4
3	x3dx			5				dt		6			1	0	(9 2 t)				1	9	(9 2 t)
9			1	5	2xdx 1			2	;	6	1 2		2	9				dt 1	2	9		dt 1
9	9 2 x	2	1	5	2xdx 1				;	6	1 2			9		t		dt 1		9	t	dt 1
0	9 2 x			5	t(0) 1 9;				1 0	6				9		t				0	t
				7	t(0) 1 9;		t(3)		1 0	8
	1 9		0 dt dt 2 1			0	tdt 1 92			t	09 2	1 2t				t	09 1 27 2 9 1 18,
	1 9		0 dt dt 2 1			0	tdt 1 92			t	09 2	1 2t				t	09 1 27 2 9 1 18,
	2		9	t	2	9			2			2 3

т.е. интеграл сходится.

Пример 2.16.	e
		dx	.
			.
	1 x3 lnx
	1

Р е ш е н и е. Подынтегральная функция бесконечна в точке x = 1. Сделаем замену t = lnx, монотонную в облас ти интегрирования:

e			2	dt 4	dx 3			1	dt			1			1	3
e			2		dx 3			1				1			1
	dx	4	5t 4 lnx;			;6	4				4		t11/3dt 4	3t2/3	4		,
9 x3 lnx		4	5t 4 lnx;			;6	4	9			4	9	t11/3dt 4	3t2/3	4		,
9 x3 lnx			5			x 6		9	3 t			9		2	0	2
1			7 t(1) 4 0;	t(e) 4 1 8				0				0
т. е. интеграл сходится.
	Пример 2.17.
					4	dx
				22		dx				.
										.
						5 (3 1 x)4

152ПРАКТИКУМ И ЗАДАНИЯ ПО ИНТЕГРАЛЬНОМУ ИСЧИСЛЕНИЮ

Ре ш е н и е. Подынтегральная функция непрерывна

в области интегрирования всюду, кроме точки x = 3. Пер вообразной на обоих промежутках 2 x < 3 и 3 < x 4 яв ляется F(x) 1 255 3 2 x, поэтому

4		dx			3		dx			4		dx
4		dx			1 4		dx			2 4		dx			1
4	5	(3	3 x)	4	1 4	5	(3	3 x)	4	2 4	5	(3	3 x)	4	1
2		(3	3 x)		2		(3	3 x)		3		(3	3 x)
2					2					3

1355 3 3 x 32 355 3 3 x 34 1 0 2 5 2 5 3 0 110,

т.е. интеграл сходится.

2.9. ВЫЧИСЛЕНИЕ ПЛОЩАДИ

ПЛОСКОЙ ФИГУРЫ

Задача вычисления площади плоской фигуры, кото рая привела нас к понятию определенного интеграла, была рассмотрена в п. 2.1. В данном подразделе рассмотрим за дачу вычисления площади плоской фигуры в более общей ситуации и для различных способов задания кривой.

2.9.1.

ПЛОЩАДЬ ФИГУРЫ, ОГРАНИЧЕННОЙ ГРАФИКАМИ НЕПРЕРЫВНЫХ ФУНКЦИЙ

Пусть y = f1(x) и y = f2(x), f1(x) f2(x) — две непрерыв ные функции; x = a, x = b — две прямые (рис. 4). Площадь

фигуры, ограниченной данными линиями, вычисляется по формуле

b
S 1 3[f2 (x) 2 f1(x)]dx.	(32)

Порядок вычисления:

1)построить чертеж;

2)найти пределы интегрирования;

3)применить формулу (32).

Пример 2.18.

Найти площадь плоской фигуры, ограниченной пара болой и прямой: y = 4x – x2; y + 2x – 5 = 0.

Р е ш е н и е. Построим чертеж данной фигуры (рис. 5).

<<< < Предыдущая 12 / 42 3 4 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
09.04.2015203.26 Кб667Технол карты тек рем обор подст.doc
#
10.04.20151.02 Mб98Технологическая карта 2.2.docx
#
10.04.2015520.51 Кб19Типовик 2 семестр ч2.pdf
#
10.04.2015354.1 Кб19Типовик 2 семестр ч3.pdf
#
10.04.2015360.76 Кб10Типовик 2 семестр ч4.pdf
#
10.04.2015496.81 Кб12Типовик 2 семестр ч5.pdf
#
28.04.201946.59 Кб4ТИПОВОЕ ПОЛОЖЕНИЕ о мол. спеце Дочерних иЗависи....doc
#
09.04.2015354.82 Кб37Типовой расчёт 3.doc
#
10.04.20151.22 Mб14типовой расчет.doc
#
01.07.2025109.06 Кб3типовые бланки ПРАКТИКА.doc
#
18.09.201984.99 Кб12тире в простых предложениях. Булгаков Собачье с...doc