5. Интегрирование по частям

Пусть и - непрерывно дифференцируемые функции от , тогда имеет место формула:

, (6) которая выражает правило интегрирования по частям. С помощью (6) вычисление интеграла сводится к нахождению интеграла , который должен быть проще исходного либо ему подобным.

Порядок вычислений:

1) все подынтегральное выражение разбить на две части: одну обозначить через , другую – через ;

2) вычислить дифференциал от функции по формуле и функцию , интегрируя

3) применить формулу интегрирования по частям;

4) вычислить интеграл и записать окончательный ответ.

Основные типы интегралов, берущихся по частям

1-й тип – интегралы вида: , , , , где - многочлен. В этом случае обозначается через : , а , , или обозначается через .

2-й тип – интегралы вида: , , , где - некоторое (необязательно рациональное) выражение от , а - некоторая функция от .

В этом случае через обозначается выражение вида , , , а - через . Требуется, чтобы интеграл брался в конечном виде. Иногда в этом случае , тогда .

3-й тип – интегралы вида , , , - циклические интегралы. В этом случае, положив, например, или , а выражение или через , проинтегрировав по частям, один из этих интегралов выразим через другой. Применив еще раз формулу интегрирования по частям, полученный интеграл сведем к первоначальному. Таким образом, получаем уравнение относительно исходного интеграла, из которого он и определится. К этому же типу относятся интегралы , .

Примеры

1) . Это интеграл I типа. Поэтому положим . Отсюда , а (при нахождении функции произвольную постоянную во внимание можно не принимать). Применяя формулу интегрирования по частям, получим: .

Иногда формулу интегрирования по частям приходится применять два раза и более.

2)

Интегралы вида или сводятся к интегралам первого типа с помощью формул тригонометрии:

3) .

Первый из интегралов правой части – табличный, второй берется аналогично интегралу из примера 1:

Окончательно получили:

4) Это интеграл 2 типа. Здесь , а . Отсюда , а . Подставляя в формулу (6), имеем:

5)

6) . Этот интеграл относится к 3 типу.

.

Сравнивая левую и правую части равенства, получим уравнение, из которого находим значение искомого интеграла: 0000

По частям также берутся некоторые интегралы, не относящиеся к вышеперечисленным трем типам.

7) .

6. Интегрирование рациональных дробей

Рациональной дробью называется дробь вида , где и - многочлены.

Рациональная дробь называется правильной, если степень числителя меньше степени знаменателя, в противном случае дробь называется неправильной.

Простейшими называются правильные дроби вида:

1) , где - целое число и ;

2) , где , т.е. квадратный трехчлен не имеет действительных корней, - целое число и .

Интегралы от простейших дробей вычисляются по формулам:

1) ;

2) ;

3) вычисляется с помощью подстановки или по формуле: .

4) заменой приводится к виду: , где . (7)

Первый из интегралов легко вычисляется:

. Второй из интегралов вычисляется по рекуррентной формуле: . Эта формула сводит вычисление интеграла к вычислению интеграла с меньшим на единицу номером. При . Например, .

Подставив найденные значения интегралов в формулу (7) и возвратившись к старой переменной по формуле , вычислим интеграл.

Интегрирование любой рациональной дроби сводится к разложению данной дроби на простейшие и интегрированию простейших дробей и многочленов. Порядок вычисления следующий:

1) если дана неправильная дробь, то выделить из нее целую часть, многочлен , и остаток , поделив числитель на знаменатель «уголком»;

2) разложить знаменатель дроби на линейные и квадратичные множители [6, с. 58-61]:

, где - действительные корни уравнения ; - квадратные трехчлены, не имеющие действительных корней;

3) правильную рациональную дробь разложить на простейшие:

;

4) вычислить неопределенные коэффициенты , для чего привести последнее равенство к общему знаменателю, приравняв коэффициенты при одинаковых степенях в левой и правой частях и решить полученную систему линейных уравнений относительно искомых коэффициентов. Коэффициенты можно также найти, придавая различные числовые значения;

5) проинтегрировать слагаемые многочлена и полученные простейшие дроби.

В результате интеграл от рациональной дроби сумме интеграла от многочлена и интегралов от простейших дробей.

Примеры 1) , здесь , поскольку , подынтегральное выражение представляет собой простейшую дробь. Интеграл вычисляется с помощью подстановки :

2) . Подынтегральное выражение представляет собой правильную дробь, поэтому выделять целую часть не нужно. Разложим знаменатель дроби на линейные и квадратичные множители:

, разложим подынтегральное выражение на простейшие дроби: , (8)

приведем правую часть равенства (8) к общему знаменателю и отбросим в полученном равенстве знаменатели. В результате будем иметь: .(9)

Подставим в (9) , получим (при второе и третье слагаемые правой части равенства (9) обращаются в нуль), отсюда .

Аналогично подставив в (9) последовательно и , получим: , отсюда ; , отсюда .

Подставив найденные значения в (8) и проинтегрировав, окончательно получим:

3) . Разложим знаменатель на множители. Для этого решим биквадратное уравнение: . Отсюда или . Итак, числитель и знаменатель раскладывается на линейные и квадратичные множители следующим способом: . Разложим подынтегральное выражение на простейшие дроби: , (10)

приведем в равенстве (10) правую часть к общему знаменателю и отбросим его. Получим:

, (11) подставив последовательно и в (11), получим: , откуда и , откуда .

Поскольку в левой части равенства (11) нет коэффициента при , а в правой части коэффициент при равен , поэтому получим: , откуда .

Подставим теперь в (11): , подставим в последнее равенство найденные значения и , получим . Итак,

.

4) .

Поскольку рациональная дробь неправильная, приходится делить многочлен на многочлен «уголком»:

Получим частное и остаток . Следовательно,

. (12)

Разложим знаменатель на множители: . Множителю соответствует сумма дробей , а соответствует . Итак,

(13)

Приведем правую часть равенства (13) к общему знаменателю и отбросим его:

. (14)

Раскроем в правой части равенства (14) скобки и приравняем коэффициенты при одинаковых степенях : ; ;

;

;

.

Из этой системы последовательно находим: ; подставив найденные значения в (13) и проинтегрировав каждое слагаемое, имеем:

.