11-09-12_13-37-11 / 1579-Зубарев,Кайдалова

№

З А Д А Н И Е

Р Е Ш Е Н И Е

cos xdx

sin x t,

dt

Интеграл

I

arctgt C =

43.

sin2 x 1

равен…

cos x dx dt

t2 1

= arctg(sinx) C .

Мера множества, изо-

браженного

на

рисунке,

Мера

–

метрическая

характеристика

равна…

y

фигуры. В данном случае (на плоскости)

44.

2

– площадь. Площадь круга S = R 2 =

4 ,

где R = 2 (из рисунка), тогда площадь

полукруга – 2 .

–2

0

2

x

1

Прямоугольника (см.

у

у = 7

Интеграл

7dx

чис-

рис.).

45.

7

S

0

ленно

равен

площади

некоторого …

0

1 х

Площадь

заштрихо-

b

ванной

части

фигуры,

S (y2

y1)dx .

Уравнение параболы

изображенной на

рисун-

ке, задана интегралом…

a

с вершиной в точке (0,

–5)

имеет вид

y

y x2 5 .

Уравнение прямой, проходя-

46.

4

щей через две точки (х1, у1) и (х2, у2), име-

ет вид

x x1

y y1

x 2

y 1

–3

2

x

x2 x1

y2 y1

3 2

4 1

–1

2

y = 1 – x. S 1 x x2 5 dx .

–5

3

Основные типы ДУ первого порядка

имеют

вид:

M1 (x)N1(y)dx

Дифференциальное

M2 (x)N2 (y)dy 0

– ДУ с разделяющи-

уравнение (ДУ)

мися переменными;

y p(x)y q(x)

–

47.

3

линейное

неоднородное

ДУ;

y

y x

x

y p(x)y q(x)yn

–

ДУ

Бернулли;

является…

M (x, y)dx N(x, y)dy 0 –

однородное

ДУ, если М(х, у) и N(х, у) – однородные

функции с одним и тем же показателем;

№

З А Д А Н И Е

Р Е Ш Е Н И Е

M (x, y)dx

N(x, y)dy 0

– ДУ в пол-

ных дифференциалах,

если

M

N

. В

y

x

данном случае – линейное неоднородное

ДУ.

Чтобы

решить

ДУ

xy y ln y ln x

нуж-

но...

А. Разделить перемен-

y

y

ные

Б.

Сделать подста-

Преобразуем ДУ к виду y

ln

48.

новку y = uv

В. Сначала

x

x

найти какое-нибудь част-

это однородное ДУ, которое решается

ное решение

Г. Приме-

подстановкой z y / x

ответ Д.

нить

метод

вариации

произвольных

постоян-

ных Д. Сделать подста-

новку z y / x

Общим решением ДУ

y 2

x 3dx

1

C1 ,

x2

49.

y 2 / x3

1

1

C x C

является...

y 2

C

dx

.

x2

1

x

1

2

Решим ДУ (с разделяющимися пере-

менными):

dy

2xdx

50.

Частное решение ДУ

y

x2 1

(1 + x2) y = 2xy

ln y ln(x2 1) lnC y =

С(x2

+ 1)

–

при y(0) = 1 имеет вид ...

общее решение ДУ. С учетом начального

условия y(0) = 1 С = 1 частное ре-

шение имеет вид

у = x2 + 1.

Дано ДУ

y 3k 1 x2 ,

Найдем производную у = 2х2 и под-

51.

тогда функция y 2x3 / 3

ставим в ДУ: 2х2 = (3k – 1) x2 2 = 3k –

является

его

решением

1 k = 1.

при k равном…

52.

Дано ДУ

(x 1)y y

Решим ДУ (с разделяющимися пере-

при

y(0) 0 . Тогда инте-

№

З А Д А Н И Е

Р Е Ш Е Н И Е

гральная кривая, которая

менными):

dy

dx

определяет решение это-

x 1

го

уравнения,

имеет

y

ln y ln(x 1) lnC

y =

С(x

– 1). С

вид…

учетом

начального

условия

имеем

y

y(0) 0 0 = С(–1) С = 0. Частное

3

4

2

решение имеет вид у = 0 прямая, па-

3

1

раллельная оси Ох и проходящая через

2

x

начало координат прямая 2.

0

–1

1

Это линейное однородное ДУ с посто-

янными коэффициентами. Составим ха-

рактеристическое

уравнение

Дано линейное

одно-

2 4 3 0 .

Если

1)

D

>

0

,

2

R , то общее решение имеет вид

родное ДУ

1

y = C1 e 1x C

e 2 x ;

2) D = 0

53.

y 4y 3y 0 ,

2

) ; 3) D < 0

тогда его общее решение

2

R y = e x (C x C

2

1

1

имеет вид…

1,2

i y =

e x (cos x sin x) .

В данном случае D = 4 > 0 1, 2

R

у = C ex

C

e3x .

1

2

Общий

член

последо-

2

3

4

n

54.

вательности

1,

,

,

,

аn =

.

3

5

7

… имеет вид…

2n 1

а) исследуем по радикальному призна-

Укажите

правильное

ку Коши

ряд

3

=

1

3

утверждение относитель-

n 1 4n

n 1 4n

но сходимости числовых

1

1

55.

рядов

lim n

un

lim n

1

ряд

схо-

3

5

n

n

4n

4

а)

и б)

дится;

б)

исследуем

по

интегральному

n

n 1

4

n 1

n 2

5

признаку

Коши

ряд

=

n 2

n 1

№

З А Д А Н И Е

Р Е Ш Е Н И Е

1

dx

5

5

=10 x 2

n 2

x 2

1

n 1

1