5. Односторонние пределы. Непрерывность функций

Определение. Если существует предел вида (т.е.принимает только значения, меньшие) то он называетсяпределом функции в т.слева.

Аналогично называетсяпределом в т.справа. Оба этих предела называются односторонними. Очевидно, что для существования предела в т. , необходимо и достаточно, чтобы оба односторонних предела в этой точке существовали и были равны между собой.

Определение. Функция называетсянепрерывной в т. , если:

1) определена в т.и ее окрестности;

2) существует ;

3) .

Другими словами непрерывна в т., если бесконечно малому приращению аргументасоответствует бесконечно малое приращение функции, т.е.. Функция, непрерывная в каждой точке некоторой области, называетсянепрерывной в этой области.

Точка , в которой хотя бы одно из условий 1-3 не выполняется называетсяточкой разрыва функции.

Если , а, то- точкаустранимого разрыва.

Если при этом эти пределы существуют и конечны, то-точка разрыва 1-го рода.

Если же хотя бы один из этих пределов не существует или равен бесконечности, то -точка разрыва 2-го рода.

АЗ-5

1. Доказать непрерывность функций ,.

2. Исследовать на непрерывность функции:

а) , б),

в) г)

д)

3. Установить область непрерывности функции , найти ее точки разрыва и построить схематично ее график.

4. Дана функция

Найти точки разрыва и построить ее график.

5. Установить точки разрыва заданных функций, указать характер разрыва в этих точках и построить схематично графики функций

а) , б), в).

ИДЗ-5

Задание 1. Исследовать данные функции на непрерывность и построить их графики

1.		16.
2.		17.
3.		18.
4.		19.
5.		20.
6.		21.
7.		22.
8.		23.
9.		24.
10.		25.
11.		26.
12.		27.
13.		28.
14.		29.
15.		30.

Задание 2. Установить точки разрыва заданных функций, указать характер разрыва в этих точках и построить схематично их графики.

1.		11.		21.
2.		12.		22.
3.		13.		23.
4.		14.		24.
5.		15.		25.
6.		16.		26.
7.		17.		27.
8.		18.		28.
9.		19.		29.
10.		20.		30.

Решение типового варианта

Задание 1. Исследовать функцию на непрерывность и построить ее график

Решение.

Функции ,,приопределены и непрерывны в заданных областях т.к. являются элементарными функциями. Таким образом разрыв возможен только в точкахи. Найдем односторонние пределы в окрестностях этих точек.

При получаем:

предел слева ,

предел права .

Т.к. односторонние пределы в т. равны между собой, то функция в этой точке непрерывна.

При получаем:

предел слева ,

предел права .

Т.к. то в т.имеем разрыв 1-го рода (т.к. оба предела конечны).

Задание 2. Установить точки разрыва заданных функций, установить характер разрыва в этих точках и построить схематично их графики.

Решение.

Данная функция не существует в т. , следовательно- точка разрыва. Найдем односторонние пределы в окрестности этой точки.

Таким образом в т. имеем разрыв второго рода. Для построения схематичного графиканайдем:

- горизонтальная асимптота графика функции. Строим график

2