Решение типового варианта

Задание 1. Доказать, что (указать).

, .

Доказательство.

Согласно определению предела последовательности (1) число а является пределом числовой последовательности , если выполняется неравенство

.

В нашем случае имеем

выразим n из этого неравенства

Решив последнее неравенство, получаем

.

Таким образом какое бы малое мы не задали, всегда найдется такое числоN, что при будет выполняться неравенство (1), а следовательно, число 3 действительно является пределом последовательности, ч.т.д.

Например, для , т.е.,,

для , т.е.,и т.д.

Задание 2. Найти пределы указанных функций

1.

Согласно теоремам о пределах подставляем в значение.

.

2. .

3. .

4. .

5. .

6. .

Имеем неопределенность вида . Чтобы раскрыть ее, разложим числитель и знаменатель дроби на множители, один из которых является критическим (т.е. превращает числитель и знаменатель дроби в 0). В данном случае критическим является множитель. Вообще же длякритическим является множитель ().

0 0

.

Сократив полученную дробь на критический множитель, вычисляем предел

.

7.

Имеем неопределенность вида , но прежде чем выделить критический множительи сократить дробь на него, необходимо умножить числитель и знаменатель исходной дроби на сопряженное (т.е. с противоположным знаком) для числителя выражение, что позволит нам избавиться от иррациональности в числителе.

8.

Имеем неопределенность вида . Чтобы раскрыть ее, разделим числитель и знаменатель дроби на(т.к. старшая степень всей дроби – третья).

Получим

Т.к. ,,и, получаем.

9.

Аналогично предыдущему примеру выносим из числителя и знаменателя старшую степень всей дроби и сокращаем на нее, получая

.

10.

11. .

Имеем неопределенность вида . Она раскрывается переводом в неопределенность видаили, для чего выражение в скобках приводим к общему знаменателю. Получим

.

Задание 3.* Вычислить пределы числовых последовательностей (функций)

1.

Замечание. Неопределенность вида можно раскрывать проще, учитываятолько старшие степени числителя и знаменателя (m и l). Из приведенных выше примеров можно заметить, что

Таким образом в данном примере т.к. старшая степень числителя и знаменателя одинаковы () то предел равен соотношению коэффициентов при этих степенях т.е.

.

2.

Старшая степень числителя и старшая степень знаменателяодинаковы, поэтому предел равен отношению коэффициентов при них т.е..

3.

Разделим числитель и знаменатель дроби на критический множитель ()

0 0

Получаем предел

Снова делим числитель и знаменатель на ()

0 0

Получаем

4. .

Умножим числитель и знаменатель дроби на множители, сопряженные числителю и знаменателю.

.

5.

Умножаем числитель и знаменатель дроби на сопряженный числителю множителя , а для знаменателя выбираем множителичтобы избавиться от корня кубического.

Замечание. Множитель необходимо умножить на выражение

3. Замечательные пределы

Первый замечательный предел

(3)

Второй замечательный предел

(4)

или

(4’)

Полезные пределы

1. ;

2. ;

3. ;.

АЗ-2

Вычислить пределы

1. . (5)

2. .

3. .

4.

5. .

6. .

7. .

!!!

8. .

9. . (0)

10. . (0) или

11. .

12. .

13. .

14. .

15. .

ИДЗ-3

Задание 1. Вычислить указанные пределы

Вариант 1	Вариант 2
1.	1.
2.	2.
3.	3.
4.	4.
5.	5.

Вариант 3	Вариант 4
1.	1.
2.	2.
3.	3.
4.	4.
5.	5.

Вариант 5	Вариант 6
1.	1.
2.	2.
3.	3.
4.	4.
5.	5.

Вариант 7	Вариант 8
1.	1.
2.	2.
3.	3.
4.	4.
5.	5.

Вариант 9	Вариант 10
1.	1.
2.	2.
3.	3.
4.	4.
5.	5.

Вариант 11	Вариант 12
1.	1.
2.	2.
3.	3.
4.	4.
5.	5.

Вариант 13	Вариант 14
1.	1.
2.	2.
3.	3.
4.	4.
5.	5.

Вариант 15	Вариант 16
1.	1.
2.	2.
3.	3.
4.	4.
5.	5.

Вариант 17	Вариант 18
1.	1.
2.	2.
3.	3.
4.	4.
5.	5.

Вариант 19	Вариант 20
1.	1.
2.	2.
3.	3.
4.	4.
5.	5.

Вариант 21	Вариант 22
1.	1.
2.	2.
3.	3.
4.	4.
5.	5.

Вариант 23	Вариант 24
1.	1.
2.	2.
3.	3.
4.	4.
5.	5.

Вариант 25	Вариант 26
1.	1.
2.	2.
3.	3.
4.	4.
5.	5.

Вариант 27	Вариант 28
1.	1.
2.	2.
3.	3.
4.	4.
5.	5.

Вариант 29	Вариант 30
1.	1.
2.	2.
3.	3.
4.	4.
5.	5.